[SCOI2016]萌萌哒（倍增+并查集）

Posted 2021-02-12 xu-daxia

当区间([a,b])和([c,d])对应相等时。
我们把两个区间对应位置上的数所在并查集合并。
最后并查集的数量为(num)答案就是(9*10^num)因为是个数，不能有前置(0)。
但是两个区间对应位置上的数所在并查集合并太浪费时间。
怎么办。
考虑使用倍增。
我们用((i,j))代表([i,i+(1<<j)-1])这个区间然后任何一个区间最多可以(log)个这样的倍增的区间拼起来。
然后呢？
我们按倍增区间的大小从大往小枚举。当((x,i))和((y,i))在一个并查集里时，((x,i-1))和((y,i-1))在一个并查集里。((x+(1<<i-1),i-1))和((y+(1<<i-1),i-1))也在一个并查集里。我们把这两对倍增区间所在并查集合并，最后长度为(1)的元素所在并查集也被合并。复杂度为(O(nlogn))。
吐槽一波题目

#include<iostream>
#include<cstring>
#include<cstdio>
#include<cmath>
#include<algorithm>
using namespace std;
#define int long long
const int mod=1e9+7;
const int N=101000;
int fa[N*22],id[N][22],pw[22],n,m,ans,book[N],tot,xb[N*22],l[N*22];
int find(int x){
    if(fa[x]==x)return x;
    else return fa[x]=find(fa[x]);
}
int ksm(int x,int b){
    int tmp=1;
    while(b){
        if(b&1)tmp=tmp*x%mod;
        b>>=1;
        x=x*x%mod;
    }
    return tmp;
}
int read(){
    int sum=0,f=1;char ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')f=-1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){sum=sum*10+ch-'0';ch=getchar();}
    return sum*f;
}
void pre_work(int x){
    pw[0]=1;
    for(int i=1;i<=20;i++)pw[i]=pw[i-1]*2;
    int len=log2(x);
    for(int j=0;j<=len;j++)
        for(int i=1;i+pw[j]-1<=n;i++)
            id[i][j]=++tot,xb[tot]=i,l[tot]=j,fa[tot]=tot;
}
signed main(){
    n=read();m=read();
    pre_work(n);
    while(m--){
        int a=read(),b=read();
        int c=read(),d=read();
        for(int i=20;i>=0;i--)
            if(a+pw[i]-1<=b){
                int x=find(id[a][i]),y=find(id[c][i]);
                if(x!=y)fa[x]=y;
                a=a+pw[i];c=c+pw[i];
            }
    }
    int len=log2(n);
    for(int j=len;j>=1;j--)
        for(int i=1;i+pw[j]-1<=n;i++){
            int f=find(id[i][j]);
            int x=find(id[i][j-1]);
            int y=find(id[xb[f]][l[f]-1]);
            if(x!=y)fa[x]=y;
            x=find(id[i+pw[j-1]][j-1]);
            y=find(id[xb[f]+pw[l[f]-1]][l[f]-1]);
            if(x!=y)fa[x]=y;
        }
    for(int i=1;i<=n;i++){
        int x=find(id[i][0]);
        if(book[x]==0)ans++,book[x]=1;
    }
    printf("%lld",9ll*ksm(10,ans-1)%mod);
    return 0;
}