补码的来源以及为什么byte的最小值是-128

Posted 2021-02-12 aigeileshei

1、        有符号数和无符号数

我们的实数分为正数和负数和0三部分

Byte数据类型一共有8位，如果是无符号数，最大可以表示的数为11111111 = 256 -1 = 255

无符号数代指不需要符号指明就可以知道它是什么数值大小。如果知道范围是正数和0的话，范围确实是0~255了

 

可是我们的byte除了存储正数、0还需要存储负数。因此需要一个位置装载符号位。因此我们留出一个位置装符号位，其他位置存储值。第一个位置为0代表正数，第一个数为1代表负数。也就是我们的原码。然后范围应该是-2^7-1 ~ 2^7-1

 

2、        引出补码的概念

按前面的方式，我们使用原码进行运算

     正数运算：

         00001001

         +

         01111101

   = 10000110 第一位为符号位，所以值为 -6 计算用的是：9+125 = 134 超过了-127~127的范围丢失精度没问题。

     换小一点的数值：

         00001001

         +

         00000101

     =   00001110  9 + 5 = 14  计算结果对应上去了

如果是减法运算呢？

         00001001

         +

10000101

         = 10001110 = -14 这个减法当成加它的负数形式得到的有问题。我们除非让加负数的时候特殊处理，并不是做二进制加法运算才行。于是我们想办法。

 

我们知道一些现象：

把某物体左转 90 度，和右转 270 度，在不考虑圈数的条件下，最终的效果是相同的；

把分针倒拨 20 分钟，和正拨 40 分钟，在不考虑时针的条件下，效果也是相同的

把数字 87，减去 25，和加上 75，在不考虑百位数的条件下，效果也是相同的；

我们找它们的规律：

   第一个要求两边组成1个圆

       90+270 = 360

    第二个要求总共60分钟，也是一个圆

        20 + 40 = 60

    第三个要求更难理解一些了，

        62 和162 相等，等于每过100就重置，把它也想象成一个圆，加法走的也是环线

        要求25 + 75 = 100

    这里的100/360/60都是一个周期，我们把它叫做“模”（也可以理解成进制）。然后25 和75 这种就是在该进制中的互补的数。

    数A + 数A的补数 = 进制

    数B – 数A = 数B - （进制 – 数A的补数）

= 数B + 数A的补数  - 进制

=数B + 数A的补数  （因为数B和数A在同一进制下，所以-进制可以舍去）

 

    我们去分析我们这里的问题了。

         如果能找到byte运算的进制，是不是就可以求到对应的补码，将减法变成加法形式呢？

         这个进制应该很好找：

             数A + 数B = 100000000 也就是到了>100000000的数就会将前面的东西舍去了，值的范围只是 00000000这一块。这里要注意一些东西，也就是这是二进制而不是十进制。

    进行与负数的加法也就是与该数对应绝对值整数的补数做加法，减的过程就是逆旋转的过程。

 

于是求负数的补数：

    补数 = 100000000（2进制） - |负数的绝对值|

    如： -5 的补数 = 256 – 5 = 251

    100000000

   -

     000000101

     011111011 （这里直接2进制减法相当于逆时针旋转）

    8位也就是11111011

    实验一次：

         8-5 = 3

         00001000

         +

         11111011

         =

         100000011 舍去逸出的位，得到：00000011 也就是3

 

得到补数的过程也就是我们的由原码得到反码的过程，不过符号位要忽略掉计算的时候。然后总结规律得出了一个反码的概念，得到了一个计算式：

    反码 = 原码逐位取反，符号位不变

    补码 = 反码 + 1

 

与正数的计算肯定用的不是它的补码而是原来的值，于是再得出结论：

    正数的补码等于它的反码等于它的原码

 

由0值引出-128的由来：

    我们都是原码表示的时候，可以发现0的位置可以是2个值：

    00000000 和100000000 分别代表+0 和-0

    但是我们将0都转换为补码形式发现：

    100000000 – 0 = 100000000 。也就是说0的补码只有1种表示形态了，也就是00000000

    那么我们的补码中将就多了1个位置出来，可以存储其他值。我们将10000000 如果是无符号数则为128，所以我们这里就多存储了一个负数-128

 

这里需要注意1个东西：

    原码和反码这些都是虚拟存在的，它是在换算补码过程中的产物，所以我们不会去管-128如果换算成原码是不是成-0了，为了解决减法问题和0有两个位置的问题等我们才找到了补码这种存储方式的。

    就是原和反的过程是过度的过程，计算机内计算和存储都是补码。补码的由来是负数在进制内相当于它的补数。正数的补码是它本身（不是补数）。求补码的过程和利用补码求10进制值可以用前人总结出的规律，但是要注意一些特殊值，所以理解根本上的求补是很有必要的。

 

 

这里引出前面讲的另一个误区：

    我们前面理解的二进制形式是带符号的，符号是在二进制之外的东西，包括浮点数的小数点这些。

    其实是有问题的，我们java中的二进制就已经存储了数据的全部信息，包括了整数与分数，包括了符号位。

 

 

这里可以发现一个问题：

    数值的2进制形式表现的是它的补码形态，输出的二进制文件会将前面的0都省略

 

参考链接：https://blog.csdn.net/z69183787/article/details/79387207

https://blog.csdn.net/TSZ0000/article/details/82881888

https://blog.csdn.net/snowsnowsnow1991/article/details/47445153