快速傅里叶变换FFT

Posted 2021-02-12 chy-2003

目录

• 前言
• 卷积
• 点值表达与离散傅里叶变换
• 单位复根
• DFT
• IDFT
• 蝴蝶操作
• 参考代码

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前言

听说FFT是个很有用的东西，于是本菜鸡就去背了模板尝试着看了一下。这里写下菜鸡版教程。

卷积

FFT主要用于求卷积。然而卷积是什么？

如果(f)是一个(n)次多项式，(g)是(m)次多项式，那么它们的卷积
[ h(x)=f(x)g(x)=sum_{i=0}^nsum_{j=0}^mf_ig_jx^{i+j}=sum_{i=0}^{n+m}sum_{j=0}^if_{i-j}g_jx^i ]
我们冷静分析一波，发现这就是个多项式乘法……

一般情况下，求卷积的时间复杂度是(O(n^2))的。我们尝试加速这一过程。

点值表达与离散傅里叶变换

一般的，一个多项式可以表示为
[ A(x)=a_0+a_1x+a_2x^2+...+a_nx^n ]
这叫系数表示。

而一个(n)次多项式可以由(n+1)个互不相同的((x,A(x)))唯一确定，其中
[ A(x)={(x_0,A(x_0)),(x_1,A(x_1)),...,(x_n,A(x_n))} ]
叫做点值表示。

然后我们发现，点值表达有一个非常厉害的地方（(A)是(n)次多项式，(B)是(m)次多项式）：
[ A(x)={(x_0,A(x_0)),(x_1,A(x_1)),...,(x_{n+m},A(x_{n+m}))}B(x)={(x_0,B(x_0)),(x_1,B(x_1)),...,(x_{n+m},B(x_{n+m}))}A(x)B(x)={(x_0,A(x_0)B(x_0)),(x_1,A(x_1)B(x_1)),...,(x_{n+m},A(x_{n+m})B(x_{n+m}))}\]
也就是说，我们可以在(O(n))的时间内求出两个点值表达式相乘的结果！这可比先前的(O(n^2))快了不少。

于是我们就想利用点值表达的这一特性来加速卷积过程。思路也很明显了：先将系数表示通过离散傅里叶变换（DFT）变成点值表示，求出乘积后，通过逆离散傅里叶变换（IDFT）转回系数表示。但是怎么进行DFT和IDFT呢？现在看来都是(O(n^2))的……（IDFT通过拉格朗日插值实现，高斯消元是(O(n^3))的）

单位复根

DFT的过程能降到(O(nlog n))全靠单位复根。

(n)次单位复根是(n)个互不相同的(omega^n=1)的复数。它们在复平面中的位置恰好将单位圆(n)等分。它们分别是(omega_n^t=cos frac{2pi t}{n}+isinfrac{2pi t}{n})，(t=0,1,...,n-1)。

(n=8)时差不多长这样：

结合图像，我们能得到一些显而易见的性质：
[ omega_{kn}^{ki}=omega_n^i\omega_n^i=-omega_n^{i+frac{n}{2}} ]
然后我们就可以尝试DFT了。

DFT

接下来，我们令(A)是一个(n)次多项式，(deg A=n+1)。不妨将(deg A)扩充到(2)的幂次。

要将(A)转成点值表示，我们需要取(deg A)个值。

现在，我们要求(overrightarrow{y}=(A(omega_n^0),A(omega_n^1),...,A(omega_n^{n-1}))^T)。

令(A(x)=A^{[0]}(x^2)+xA^{[1]}(x^2))（奇偶次项分开），我们可以得到：
[ A(omega_n^i)=A^{[0]}(omega_n^{2i})+omega_n^iA^{[1]}(omega_n^{2i})=A^{[0]}(omega_{frac{n}{2}}^i)+omega_n^iA^{[1]}(omega_{frac{n}{2}}^i)A(omega_n^{i+frac{n}{2}})=A(-omega_n^i)=A^{[0]}(omega_{frac{n}{2}}^i)-omega_n^iA^{[1]}(omega_{frac{n}{2}}^i) ]
所以求出
[ overrightarrow{y^{[0]}}=(A^{[0]}(omega_{frac{n}{2}}^0),A^{[0]}(omega_{frac{n}{2}}^1),...,A^{[0]}(omega_{frac{n}{2}}^{frac{n}{2} - 1}))\overrightarrow{y^{[1]}}=(A^{[1]}(omega_{frac{n}{2}}^0),A^{[1]}(omega_{frac{n}{2}}^1),...,A^{[1]}(omega_{frac{n}{2}}^{frac{n}{2} - 1}))\omega_n^i ]
后就可以在(O(n))时间内求出(overrightarrow{y})。这样的时间复杂度是(O(nlog n))的。

IDFT

有了(overrightarrow{y})，求(A)的过程叫IDFT。我们现在令(A)的系数组成向量(overrightarrow a)。

该过程即解方程
[ egin{aligned} egin{pmatrix} 1 & omega_n^0 &... & (omega_n^0)^{n-1} 1 & omega_n^1 &... & (omega_n^1)^{n-1} & & ... & 1 & omega_n^{n-1} & ... & (omega_n^{n-1})^{n-1} end{pmatrix} imes overrightarrow{a}=overrightarrow{y} end{aligned} ]
左边的系数矩阵是(n)阶的范德蒙德矩阵(V_n)。现在我们尝试求出(overrightarrow{a}=V_n^{-1}overrightarrow {y})。

我们构造
[ D_n=egin{pmatrix} 1 & (omega_n^{0})^1 & ... & (omega_n^{0})^{n-1}1 & (omega_n^{-1})^1 & ... & (omega_n^{-1})^{n-1}& & ... & 1 & (omega_n^{-n+1})^1 & ... & (omega_n^{-n+1})^{n-1} end{pmatrix} ]
那么
[ (D_nV_n)_{i,j}=sum_{k=0}^{n-1}D_{i,k}V_{k,j}=sum_{k=0}^{n-1}(omega_n^{-i})^k(omega_n^k)^j=sum_{k=0}^{n-1}omega_n^{k(j-i)} ]
而由于(j-iin{-n+1,n-1})，所以当(i=j)时，((D_nV_n)_{i,j}=n)，否则((D_nV_n)_{i,j}=frac{1-(omega_n^{j-i})^n}{1-omega_n^{j-i}}=0)。

也就是说
[ D_nV_n=nI_n ]
所以
[ V_noverrightarrow{a}=overrightarrow{y}\Rightarrowfrac{1}{n}D_nV_noverrightarrow{a}=frac{1}{n}D_noverrightarrow{y}\Rightarrowoverrightarrow{a}=frac{1}{n}D_noverrightarrow{y} ]
而我们发现DFT的过程实际上就是求
[ overrightarrow{y}=V_noverrightarrow{a} ]
所以只需要把DFT时(V_n)中的(omega_n^i)换成(omega_n^{-i})即可(取虚部为相反数)。最后别忘了乘上(frac{1}{n})。

到此为止，已经可以写出递归版的FFT了。不过递归版的FFT常数比较大。我们来看进一步的优化：

蝴蝶操作

DFT时，我们要将系数奇偶分开。考虑递归过程中系数的变化：
[ egin{matrix} 0&1&2&3&4&5&6&7&2&4&6&1&3&5&7&4&2&6&1&5&3&7 end{matrix} ]

[ egin{matrix} 000&001&010&011&100&101&110&111&1&2 &3&4&5&6&7\0&4&2&6&1&5&3&700&100&010&110&001&101&011&111 end{matrix} ]

发现什么了吧。

我们可以先将系数放到对应的位置，然后从下往上一步步合并就可以了。

参考代码

题目链接

#include <bits/stdc++.h>
#define LL long long
#define LD long double
using namespace std;

const int Maxn = 4000010;
const LD Pi = 3.14159265358979323846264;
struct myComplex {
    LD real, imag;
    myComplex operator + ( const myComplex Other ) const {
        return ( myComplex ) { real + Other.real, imag + Other.imag };
    }
    myComplex operator - ( const myComplex Other ) const {
        return ( myComplex ) { real - Other.real, imag - Other.imag };
    }
    myComplex operator * ( const myComplex Other ) const {
        return ( myComplex ) { real * Other.real - imag * Other.imag, real * Other.imag + imag * Other.real };
    }
};
int n, m, TotalLen, N;
int Index[ Maxn ];
myComplex omega[ Maxn ], A[ Maxn ], B[ Maxn ];

void FFT( myComplex *A ) {
    for( int i = 0; i < N; ++i ) 
        if( i < Index[ i ] ) 
            swap( A[ i ], A[ Index[ i ] ] );
    for( int HalfLen = 1; HalfLen < N; HalfLen <<= 1 ) 
        for( int i = 0; i < N; i += HalfLen << 1 )
            for( int j = 0; j < HalfLen; ++j ) {
                myComplex t = omega[ ( N / HalfLen / 2 ) * j ] * A[ i + j + HalfLen ];
                myComplex T = A[ i + j ];
                A[ i + j ] = T + t;
                A[ i + j + HalfLen ] = T - t;
            }
    return;
}

int main() {
    scanf( "%d%d", &n, &m );
    ++n; ++m; TotalLen = n + m - 1;
    for( int i = 0; i < n; ++i ) scanf( "%Lf", &A[ i ].real );
    for( int i = 0; i < m; ++i ) scanf( "%Lf", &B[ i ].real );
    for( N = 1; N <= TotalLen; N <<= 1 );
    for( int i = 0; i < N; ++i ) 
        Index[ i ] = ( Index[ i >> 1 ] >> 1 ) | ( ( i & 1 ) * N / 2 );
    for( int i = 0; i < N; ++i ) 
        omega[ i ] = ( myComplex ) { cos( 2.0 * Pi * i / N ), sin( 2.0 * Pi * i / N ) };
    FFT( A ); FFT( B );
    for( int i = 0; i < N; ++i ) A[ i ] = A[ i ] * B[ i ];
    for( int i = 0; i < N; ++i ) omega[ i ].imag = -omega[ i ].imag;
    FFT( A );
    for( int i = 0; i < TotalLen; ++i ) printf( "%d ", ( int ) ( A[ i ].real / N + 0.5 ) );
    printf( "
" );
    return 0;
}