最小生成树的Prim与Kruskal

Posted 2021-02-12 __kgds

最小生成树定义：一个有 n 个结点的连通图的生成树是原图的极小连通子图，且包含原图中的所有 n 个结点，并且有保持图连通的最少的边。

1.Prim算法：刷新每条边联通生成树的最小权值最后完成最小生成树

变量：

n：结点个数

i（i=1，i≤n，++i）：循环n次，每次与生成树联通一个结点

j（j=1，j≤n，++j）：枚举结点

k：当前循环被染色的点

book[]：记录染色（0,1）

minn[]：记录每个点与生成树相连所需最小权值

edge[][]：记录权值

如图，一个有4（n）个结点的连通图，求其最小生成树权值之和

首先将k（k=1）作为根节点，并存入生成树内，将其染色（book[j]=1）

枚举j结点到节点k的权值（book[j]=0），更新j与生成树联通的最小权值(minn[j]=min(minn[j],edge[k][j]))，minn[]={0,1,3,2}，进入下一轮循环（++i）。

贪心，枚举minn数组中的最小值（book[j]=0），记录下标（k=j），并将k（k=2）存入生成树（book[k]=1）

注：每次minn数组的权值最小值一定不会再更新，故可以直接存入生成树，可参考Dijkstra

以此类推，更新minn[]的值，直到将所有节点存入生成树为止

                   

最终minn[]={0,1,2,1}即edge[1][2],edge[2][3],edge[3][4]，权值和为4

2.Kruskal：相对比Prim来说，Kruskal更好理解，其实无异于并查集

如图，一个有4个结点的连通图，求其最小生成树权值之和

现将其边的权值进行排序{1,1,2,2,2,3}，并将四个节点分为四个集合{{1},{2},{3},{4}}

枚举其权值，首先是最小的edge[1][2]，1和2不在同一个集合中（在同一个集合直接跳过），使用并查集，将1和2合并到一个集合，三个集合{{1,2}{3}{4}}，以此类推，下个循环是edge[3][4]，不在同一集合，使用并查集，两个集合{{1,2}{3,4}}，再下一个是edge[1][4]，不在同一集合，使用并查集，一个集合{1,2,3,4}，权值之和为4