Math_Linear_algebra_04_向量空间

Posted 2021-02-12 tlfox2006

 

空间向量 

https://wenku.baidu.com/video/course/v/V_3e6e0242a8956bec0975e392

 

1. 空间向量：在空间中的向量。所有的概念与平面向量相同。

• 加减法：三角形法则和平行四边形法则。

　　　平行四边形法则：将空间的向量平移。

　　　三角形法则：两条线相加等于起点到终点的距离

　　　向量AA’+向量D‘C‘ = 向量AA‘+向量A‘B‘ = 向量AB‘ ； 而向量AA‘+向量AB+向量AD = 向量AC‘

　　　　 

•  

例子 重心的性质：AG=2/3AF

向量AB+向量AD+向量AP = 向量AE。

由于G是三角形ACP的重心，向量AG=2/3向量AF。向量AF为1/2AE，所以向量AG=1/3向量AE

所以1/3（AB+AD+AP）=向量AG

 

2. 共线与共面向量基本定理

 

任意两个向量一定共面，因为向量是可以平移的。

而三个向量共面，必须保证他们都在一个平面上。且其中一个向量，可以被其余两个向量表示。

例子：向量是否共面，看其中一个向量是否可以被其他两个向量表示。

 

3. 空间向量分解定理

平面：平面中任意一个向量，都可以被两个不共线的向量相加。

空间：空间中任意一个向量，都可以被三个不共面的向量相加。这三个不共面的向量就是空间的基底。这就是空间向量的分解定理。

  

 

4. 空间向量数量积的直接计算

 

5. 空间向量的坐标混合运算

空间中的向量坐标与平面一样，都是终点减去始点。

A向量=（1，1,2）；B向量=（1,3,1），AB向量=B向量-A向量=（0,2,-1）

向量的运算：

 

 6. 向量模的计算

 

7.  空间向量平行、垂直和共面的条件

• 空间向量平行：则向量a=λ向量b。

 　　

• 空间向量垂直：则向量a*向量b=0

　　 

• 空间向量共面：其中一个向量能被其他两个向量线性表示

　　

 

8. 向量夹角的计算

  

 

 

 

9. 向量求两条直线的夹角

 计算两向量的夹角，可以建立坐标系，用转换成计算向量的坐标向量的夹角。

注：θ为正。

 

还可以分解计算。

 

10. 法向量

法向量：与平面a垂直的向量就是 平面a的法向量，但法向量并不唯一，只要是垂直于平面a的向量都是平面a的法向量。

怎么查找法向量？只要在平面a内，找到两个不共线的向量垂直，那么这个向量就垂直平面

求解法向量的步骤：

1. 设一个法向量
2. 再利用它与平面内的不共线的向量列出公式。
3. 给x取任意值。

 

 

11. 直线与平面的夹角

直线与平面的夹角为【0，∏/2】

向量法：

cosθ 就是两个向量的点乘，除以两个向量的模相乘。

 

 

13. 利用向量分解求线段长

 

14. 点面距离

 http://www.cnblogs.com/graphics/archive/2010/07/10/1774809.html

平面的一般式方程

Ax +By +Cz + D = 0

其中n = (A, B, C)是平面的法向量，D是将平面平移到坐标原点所需距离（所以D=0时，平面过原点）

向量的模（长度）

给定一个向量V（x, y, z),则|V| = sqrt(x * x + y * y + z * z)

向量的点积（内积）

给定两个向量V1(x1, y1, z1)和V2(x2, y2, z2)则他们的内积是

V1V2 = x1x2 + y1y2 + z1z2

点到平面的距离

有了上面的准备知识，则求点到直线的距离不再是难事，有图有真相

如果法相量是单位向量的话，那么分母为1

 

15.