题解+新技巧--一本通1282：最大子矩阵

Posted 2021-02-12 inductivesorting-qyf

http://ybt.ssoier.cn:8088/problem_show.php?pid=1282（题目传送）

虽然已知是DP，但第一眼看挺蒙的，想了想后设了个a[i][j][k][l]表示长（坐标）为i~j，宽（坐标）为k~l的矩阵，但根本找不到状态转移方程啊。后借鉴题解（https://www.cnblogs.com/GodA/p/5237061.html）后领悟到的另一种方法：

任何问题都有它的简化，看到二维，没办法时我们可以考虑一下一维：求一维数组的一个最大连续段，我们可以设b[i]为从前i个数的最大连续段(a[i]为一开始存入的输入数据)，b[i]无非就有两种情况：以它结尾的最大连续段；或以它开头另开一个最大连续段（当b[i-1]小于0时b[i-1]+a[i]反而比a[i]小，因此不如新开一个最大连续段）。

 1 int MaxSubArray(int a[],int n)
 2 {
 3     int i,b = 0,sum = 0;
 4     for(i = 0;i < n;i++)
 5     {
 6         if(b>0)                // 若a[i]+b[i-1]会减小
 7             b += a[i];        // 则以a[i]为首另起一个子段
 8         else    
 9             b = a[i];
10         if(b > sum)    
11             sum = b;
12     }
13     return sum;
14 }

想完一维，跟二维有什么关系？当然有了，我们把二维“拍”成一维，不就行了吗？

我们假设所求N*N的矩阵的最大子矩阵是从i列到j列，q行到p行，如下图所示（假设下标从1开始）

　　a[1][1]　　a[1][2]　　······　　a[1][i]　　······　　a[1][j] 　　······　　a[1][n]

　　a[2][1]　　a[2][2]　　······　　a[2][i]　　······　　a[2][j]　　 ······　　a[2][n]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　······

　　a[q][1]　　a[q][2]　　······　　a[q][i]　　······　　a[q][j]　　······　　a[q][n]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　······

　　a[p][1]　　a[p][2]　　······　　a[p][i]　　······　　a[p][j]　　······　　a[p][n]

　　　　　　　　　　　　　　　　　　······

　　a[n][1]　　a[n][2]　　······　　a[n][i]　　······　　a[n][j]　　······　　a[n][n]

　　最大子矩阵就是图示红色部分，如果把最大子矩阵同列的加起来，我们可以得到一个一维数组{a[q][i]+······+a[p][i] , ······ ，a[q][j]+······+a[p][j]} ，现在我们可以看出，这其实就是一个一维数组的最大子段问题：

分别将各个高的矩阵压缩成一个一维数组并求它的最大连续段，则在二维的体现就是一个相应高的最大连续矩阵，取所有相应最大连续矩阵的最大值，就是答案（还好题目只要求最大值，不要求给出最大矩阵是什么）

AC代码：

 1 #include<iostream>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstring>
 4 using namespace std;
 5 int dp[101][101],arr[101];
 6 int maxsub(int a[],int n)
 7 {
 8     int max=0,b=0;
 9     for(int i=0;i<=n;i++)
10     {
11         if(b>0)
12             b+=a[i];
13         else
14             b=a[i];
15         if(b>max) max=b;
16     }
17     return max;
18 }
19 int main()
20 {
21     int n,maxx=0;
22     cin>>n;
23     for(int i=1;i<=n;i++)
24         for(int j=1;j<=n;j++)
25             cin>>dp[i][j];
26     for(int i=1;i<=n;i++)
27     {
28         memset(arr,0,sizeof(arr));
29         for(int j=i;j<=n;j++)
30         {
31             for(int k=1;k<=n;k++)
32             arr[k]+=dp[j][k];
33             int m=maxsub(arr,n);
34             if(maxx<m)
35             maxx=m;
36         }
37     }
38     cout<<maxx;
39     return 0;
40 }

最后总结一下：1.对问题的简化（二维转一维，模拟转整体充分条件（长方体），无序转有序等）十分重要！

2.线型动态规划多以结尾为状态。