SPOJ GSS数据结构套题

Posted 2021-02-12 denverjin

SPOJ GSS1

题意：给一个序列以及一些询问，每个是问([l,r])中最大连续子序列和是多少。

思路：这个问题是以下问题的基础。

我们考虑用线段树来解决这个问题。

首先我们来想想如果要求出最大连续子序列和需要什么信息。

对于([l,m))和([m,r))这两个区间，我们需要将它们合并成([l,r))这个区间。

那么我们考虑分治地来解决这个问题。把问题分成三部分：

• ([l,m))中的最大子序列和
• ([m,r))中的最大子序列和
• 左端点在([l,m))内，右端点在([m,r))内的最大子序列和。

其中前两个部分可以递归处理，而第(3)个部分则需要记录([l,m))的最大后缀和以及([m,r))的最大前缀和，以便求出此部分的值。所以对每个节点维护([l,r))的和、最大子序列和、最大前缀和、最大后缀和。

将值上推的时候这样做：

• 首先将([l,r))的和设为([l,m))的和加上([m,r))的和。
• 然后考虑最大前缀和（最大后缀和与之对称，略）：这个最大前缀和的结尾可能有两种情况：
  • 在([l,m))中，即([l,m))的最大前缀和
  • 在([m,r))中，即([l,m))的和加上([m,r))的最大前缀和
• 然后最大子序列和就是([l,m))的最大后缀和加上([m,r))的最大前缀和。

然后就好辣。

SPOJ GSS3

题意：给一个序列以及一些询问，每个是(1))将(x)这一位上的数改成(v)；(2))问([l,r])中最大连续子序列和是多少。

思路：这题比GSS1只是多了修改操作，而这只是单点修改，所以直接加上正常线段树的(update)操作即可。

SPOJ GSS5

题意：给一个序列以及一些询问，每个是问(max sum_{k=i}^ja_k(x_1leq ileq y_1,x_2leq jleq y_2,x_1leq x_2,y_1leq y_2))。

思路：我们将(y_1)和(x_2)的大小情况分两类考虑：

• (y_1<x_2)时，这两个区间没有任何交叉，所以答案肯定是([x_1,y_1])的最大后缀和加上([y_1+1,x_2-1])的和加上([x_2,y_2])的最大前缀和。
• (y_1geq x_2)时，这两个区间的交叉是([x_2,y_1])这段，那么我们要分几种情况考虑：
  • (i)在([x_1,x_2-1])里，(j)在([x_2,y_1])里：([x_1,x_2-1])的最大后缀和加上([x_2,y_1])的最大前缀和。
  • (i)在([x_1,x_2-1])里，(j)在([y_1+1,y_2])里：([x_1,x_2-1])的最大后缀和加上([x_2,y_1])的和加上([y_1+1,y_2])的最大前缀和。
  • (i)在([x_2,y_1])里，(j)在([i,y_1])里：([x_2,y_1])的最大连续子序列和。
  • (i)在([x_2,y_1])里，(j)在([y_1+1,y_2])里：([x_2,y_1])的最大后缀和加上([y_1+1,y_2])的最大前缀和。
• 然后取(max)就好辣。

SPOJ GSS7

题意：给一棵树以及一些询问，每个是(1))将(a ightarrow b)的路径上每一个点都赋成(c)；(2))问(a ightarrow b)的路径上每一个点组成的序列的最大连续子序列和。

思路：树链剖分都出来了。。。

先看第一个询问。

这个询问还是比较普通的。。。

套个树链剖分的模板做一下就行了，不过线段树中还要加上区间修改的操作。其实也蛮简单的：）

然后我们考虑第二个询问。

首先这个不可以套模板了。。。

最大连续子序列和不是个可以分段搞的东西。。。

然后放弃想了想发现我们可以(O(log^2))地做！！！

首先我们按照正常步骤来把这条路径上所有的重链作为一个个区间，记为(A_{1..m})。

然后我们根据（da）树链剖分（le）复杂度（ge）的证明（biao）发现(m)不会超过(O(log n))。

所以开心地暴力。。。

枚举区间开头(l)，区间结尾(r)，那么就是(sum_{i=l+1}^{r-1}A_i)的和加上(A_l)的最大后缀和加上(A_r)的最大前缀和。

还有一种情况就是答案就在(A_i)中，即(A_i)的最大连续子序列和。

搞死我了。。。写了(5K)。。。