踢罐子 [几何+乱搞]

Posted 2021-02-12 dedicatus545

题面

大概题意：

平面上有n个点，其中任意2点不重合，任意3点不共线。

我们等概率地选取一个点A，再在剩下的n-1个点中等概率地选取一个点B，再在剩下的n-2个点中等概率地选取一个点C。

然后我们计算伤害倍率d。作ABC外接圆，每一个位于弧BC和线段BC之间的点计1倍，每一个位于弧BC上的点(包括B,C两点)计1/2倍，特别的，点A计1倍。将这些倍率全部加起来得到伤害倍率d。

给定这n个点的坐标，你需要求出d的期望。为了简单起见，你只需要输出dn(n-1)(n-2)2的值，可以看出这是一个整数。

思路

转化

先把任意三个点构成的六种选择方法合并，发现就是选出三角形，求外接圆周和弦之间的点数

然后考虑任意四个点的贡献

发现当四个点构成凸四边形的时候，任意选三个点ABC出来，需要第四个点D，使得$A+D<pi$才可以，此时有4的贡献

如果等于$pi$则是四点共圆，同样有4的贡献

然后发现当四个点构成凹四边形的时候，任选三个点，第四个点都没有贡献

所以本题变成了求凸四边形个数

求凸四边形个数的$O(n^2 log n)$算法

对于每个点，把剩下的所有点按照和它的连线的斜率排序，求斜率可以用atan2l函数（加上l避免爆精度）

然后，考虑两个点的连线，设连线两侧的点数分别是$L$和$R$（注意这里要判断，不能构成了一个箭头的形状）

发现构成凸四边形的两个点在同侧的有$(L-1)L+(R-1)R$种情况，两个点在异侧的有$(L*R)$种情况

列个方程可以知道，总的个数就是这两个东西相减除以二

其余详细见代码

Code

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cassert>
#include<cmath>
#define ll long long
const double pi=acos(-1.0);
using namespace std;
inline int read(){
    int re=0,flag=1;char ch=getchar();
    while(!isdigit(ch)){
        if(ch=='-') flag=-1;
        ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch)) re=(re<<1)+(re<<3)+ch-'0',ch=getchar();
    return re*flag;
}
int n,top;ll ans=0;
double x[1010],y[1010],lis[2010];
int main(){
    n=read();int i,j,k,l,r;
    for(i=1;i<=n;i++){
        x[i]=read();y[i]=read();
    }
    ans=4ll*n*(n-1)*(n-2);
    for(i=1;i<=n;i++){
        top=0;
        for(j=1;j<=n;j++){
            if(i==j) continue;
            lis[++top]=atan2l(x[j]-x[i],y[j]-y[i]);
            if(lis[top]<0) lis[top]+=pi*2;
        }
        sort(lis+1,lis+top+1);
        for(j=1;j<=top;j++) lis[j+top]=lis[j]+pi*2;
        for(j=1,k=1;j<=top;j++){
            while(k<=top*2&&(lis[k]<lis[j]+pi)) k++;
            l=k-j-1;r=n-1-l-1;
            ans+=(1ll*l*(l-1)/2ll+1ll*r*(r-1)/2ll-1ll*l*r)*2ll;
        }
    }
    cout<<ans<<'
';
}