泰勒级数&傅立叶级数

Posted 2021-02-12 windyz

泰勒级数的基本公式.

这个方程相当于是待解析曲线在求解点附近做了一条切线，并进行迭代法累加(n阶导数)。迭代次数越多，越接近原始曲线。举例用泰勒级数来分解sin(t)，相当于把一个光滑的函数(三角函数)变成一些列有楞有角的波形的叠加. 而n阶导数可以理解为不同的相互独立的维. 相互之间是天然的正交关系. (这个需要专业证明啊).
傅立叶级数的基本公式
　
这个方程相当于是待解析周期曲线用n阶三角函数进行累加, 用傅立叶级数表达周期方波, 相当于把一个有棱有角的曲线变成一些光滑的波形的叠加(不总是如此,因为也可以是光滑的周期曲线). sin(nx),cos(nx)的正交关系是LZ在之前的连载中早就说明了的.
两者之间实际上还是有很大区别的. 泰勒级数主要作用是将不可计算的无理数对象分解为若干的可计算的有机数对象, 其性能考察包括收敛性. 收敛性越好,计算效率就越高(不需要太多逼近就能够计算出足够精度的结果)
而傅立叶级数主要是针对周期信号的(傅立叶变换是假设周期T为无穷大,引申出来的,不在此讨论), 且用三角函数进行分解.高收敛性肯定不是评价其性能的标尺. 通过欧拉公式及e常数(e常数的一个主要特点是其导数特性,太特别了(e^x)‘=e^x), 可以正如LZ所讲解的那样, 傅立叶级数将周期信号分解成若干的旋转向量. 将指数运算变成乘积运算及相位的相加运算.
更深刻的只能期待数学专家的出场了!

 

 

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