MT309正弦的平方差公式

Posted 2021-02-12 mathstudy

在锐角$Delta ABC$中,角$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$,且满足$b^2-a^2=ac$,则$dfrac{1}{ an A}-dfrac{1}{ an B}$ 的取值范围是_____

证明:由正弦定理$sin^2B-sin^2A=sin Acdotsin C$,即$sin(B+A)cdotsin(B-A)=sin Acdotsin C$,
从而$sin(B-A)=sin A,B=2A$,由锐角三角形条件得$dfrac{pi}{3}<B<dfrac{pi}{2}$
故$dfrac{1}{ an A}-dfrac{1}{ an B}=dfrac{sin Bcos A-cos Bsin A}{sin Asin B}=dfrac{sin(B-A)}{sin Asin B}=dfrac{1}{sin B}inleft(1,dfrac{2sqrt{3}}{3} ight)$

练习:在$Delta ABC$中,$A,B,C$所对的边分别为$a,b,c$,且$3a^2=c^2-b^2$,则$ an A an B$ 的取值范围____
答案:$(0,dfrac{1}{2})$,提示由条件得$ an C=-2 an B$