游艇租赁最小代价——动态规划求解

Posted 2021-02-11 chenleideblog

问题：江上有6个游艇站，游客可以从任意一个站租赁游艇，并在其下游任意一个站归还游艇，不同站之间的费用不同。

游艇出租站i到j之间的租金为r(i,j)。上下游情况以及各站点之间的费用如下：

图片来源于陈小玉老师的《趣学算法》

分析：

1.上述指出上游可以到下游中任意一个站规划游艇，那么，智能是序号低的站到序号高的站，所以，在租金矩阵中只会存在右三角的部分。

2.上述问题无外乎考虑的是直达还是经过中转然后到达目的站点。

3.所以，在出发站点与目的站点之间可以考虑经过0次，1次，2次......中转，最后到达目的站点。

4.要是经过1次或者一次以上中转，那么我们需要记录初始站点i到目的站点j的中转站点k到底是谁，所以我们需要额外数组进行记录，我们选用s[i][j]的值表示两点之间的中转节点。

5.而且我们还需要不断更新初始站点i到目的站点j的最短花费情况，所以要用新的数组进行记录，我们选用m[i][j]的值表示两点之间的最短花费。

注：我们需要进行以下推论，若存在1，2，3站点，1->3有两种情况，要么1->3，要么1->2->3，要是经过2站点中转，则1->3的花费最小，那么我们就知道了1->3的最佳策略是在2站点进行中转。

那么，继续，存在1，2，3，4站点，1->4的情况就更多了些，可以是1->4，也可以是1->2->4，或者是1->3->4，又或者是1->2->3->4这4中情况，有上述中的假设，1->3的最佳策略是在2站点进行中转，那么用于1->4策略中，1->2->3->4的情况一定优于1->3->4的情况。

6.所以，这就引出了动态规划的核心要点，即原问题的最优解一定包含了子问题的最优解，即1->4(1->3->4)的最优解情况一定包含了1->3的最优解情况，那么，我们在开始要记录了子问题的最优解情况，后续则可以直接使用，

7.在6的基础上，我们开始建立最优值的递归式：

已知我们的数据结构：m[i][j]的值表示两点之间的最短花费，s[i][j]的值表示两点之间的中转节点。

那么，若i==j，则m[i][j]==0；

若j==i+1，则m[i][j]==r[i][j]，即m[i][j]表示两点间的直达代价，那么s[i][j]==0，因为s[i][j]表示两者间的中转点，而两点为直达，所以没有中转点；

若j>i+1，即两点间存在一个或者一个以上的中转点时，m[i][j]==min{m[i][k]+m[k][j]，r[i][j]}

注：本人曾经在此处有过疑惑。但其实想一想就可以理解了，假设i到j有最优情况，那么假设其中一个中转节点是k，那么，我们可以知道最直接的路径i->k->j是一条最优路径，可能i->k之间，k->j之间都还存在这中转情况。

但是我们知道i->k的代价，k->j的代价都是最小的（子问题最优用于母问题最优）

而事实上，i->k的最优情况在分析i->j之前我们已经得到，我们直接用就可以，没必要再重新分析。就是比如先以三个点为例，结果1->3的代价中，路径1->2->3的代价是低于路径1->3代价的，那么，我们就会在选择中记录要是有结果1->3的情况，我们就默认选择路径1->2->3。

同理在1->4的结果中，我们会尝试路径1->4,1->2->4,1->2->3->4而不会去尝试1->3->4。而在计算经过节点3进行中转的情况时，我们只需要关注的是3->4之间的代价，而结果1->3的代价已经由路径1->2->3求得。

所以，最后，若假设结果1->4的最佳路径是1->2->3->4，我们只需要知道4的前一节点是3，而不关心3的前一节点是谁，而到了3节点，我们才能发现其前一节点还需要经过2。

 

接下来进行代码分析：

初始化，我们让m[i][j]=r[i][j]，s[i][j]=0,即将直达情况进行了第一遍记录，后续的比较就是逐次增加中转站点的个数，不断进行比较是经过中转后的代价最优还是直达最优，从而对代价表与中转表进行更新。

 

接下来，分析超过2个节点的情况，我们加入某个点作为两点间的中转点，看加入后代价是否优于之前，若代价优于直达，更新代价表，并将中转节点编号赋值给r[i][j]。

接下来上代码：

 1 #include <iostream>
 2 using namespace std;
 3 const int N = 1024;
 4 int r[N][N],m[N][N],s[N][N];
 5 int n;
 6 
 7 void initArray()    //初始化数组
 8 {
 9     for(int i = 1; i <= n; i++){
10         for(int j = i+1; j <= n; j++){
11             m[i][j] = r[i][j];
12             r[i][j] = 0;
13         }
14     }
15 }
16 
17 void calShortValue()    //计算数组中的最优代价情况
18 {
19     for(int i = 1; i <= n; i++){
20         for(int j = i+2; j <= n; j++){
21             for(int k = i+1; k < j; k++){
22                 if(m[i][k] + m[k][j] < m[i][j]){
23                     m[i][j] = m[i][k] + m[k][j];
24                     s[i][j] = k;
25                 }
26             }
27         }
28     }
29 }
30 
31 void printShortValue()  //打印数组中最优代价情况
32 {
33     for(int i = 1; i <= n; i++){
34         for(int j = 1; j <= n; j++){
35             if(j <= i){
36                 cout << " ";
37             }
38             else{
39                 cout << m[i][j];
40             }
41             cout << " ";
42         }
43         cout << "
";
44     }
45 }
46 
47 int main()
48 {
49     cout << "请输入站点个数：" << endl;
50     cin >> n;
51     cout << "请以此输入各站点间的代价：" << endl;
52     for(int i = 1; i <= n; i++){
53         for(int j = i+1; j <= n; j++){
54             cin >> r[i][j];
55         }
56     }
57     initArray();
58     calShortValue();
59     printShortValue();
60 }