MT307周期数列

Posted 2021-02-11 mathstudy

(2017浙江省数学竞赛）

设数列${a_n}$满足:$|a_{n+1}-2a_n|=2,|a_n|le2,nin N^+$
证明:如果$a_1$为有理数,则从某项后${a_n}$为周期数列.

分析:若$a_1in Q$由$|a_{n+1}-2a_n|=2$知道$a_nin Q$. 
设$a_n=dfrac{q}{p},(p,q)=1$则$a_{n+1}=2a_npm2=dfrac{2qpm2p}{p}$故$a_n,a_{n+1}$ 在不约分的情况下分母相同.
设$a_1=dfrac{b_1}{p},(b_1,p)=1$则$a_n=dfrac{b_n}{p},b_nin Z$,由已知$|a_n|le 2$故$-2|p|le b_nle 2|p|$,故$a_n$的个数至多$4|p|+1$个,故存在整数$k<l$使得$a_k=a_l$.
故${a_n}$从第$k$项起是周期数列,周期为$T=l-k$

注:这里主要考察一个周期数列的定理:

值域是有限数集的递推数列从某项起是周期数列.

证明:设$a_{n+r}=f(a_{n+r-1},a_{n+r-2},cdots,a_n),nin N^*$ 且${a_n}$的值域为$D={b_1,b_2,cdots,b_M}$
构造数组$(a_1,a_2,cdots,a_r),(a_2,a_3,cdots,a_{r+1}),cdots,(a_n,a_{n+1},cdots,a_{n+r-1}),cdots$
显然这些数组至多$M^r$个,由抽屉原理,$M^r+1$个中至少有两个是相等的,
不妨设$(a_N,a_{N+1},cdots,a_{N+r-1})=(a_{N+T},a_{N+1+T},cdots,a_{N+r-1+T})$,
从而$a_{N+k+T}=a_{N+k},k=0,1,2,cdots r-1$.
下面用数学归纳法证明:$nge N$时$a_{n+T}=a_n$恒成立
(1)当$n=N,N+1,cdots N+r-1$时,由上述论述$a_n=a_{n+T}$成立
(2)假设当$nle k(kge N+r-1)$时$a_{n+T}=a_n$成立,
那么$n=k+1$时,$a_{n+1+T}=f(a_{n+T},a_{n-1+T},cdots,a_{n-r+1+T})=f(a_n,a_{n-1},cdots,a_{n+r-1})=a_{n+1}$
综上由(1)(2)知对任意$nge N,a_{n+T}=a_n$成立.