线索二叉树之初步剖析（献给那些想形象思考二叉树遍历过程的人）

Posted 2021-02-11 shaonianpi

       对于二叉树的遍历通常习惯采用递归的方法，当树的规模很大的时候，递归的深度就会很深，这就导致了对空间的浪费。在此，我们先不讨论二叉树遍历的本质，以及递归的详细过程。我先先来研究一下，二叉树本身：

图1  二叉树

图1所示为一个二叉树的结构，我们注意结点的特征。结点包含了三个数据：存储值，指向左子节点的左指针，以及指向右子节点的右指针。

我们考虑在计算机中的实现：对于每一个节点，我们都需要分配相同大小的空间。能够指向左右子节点的指针，是有效的，因为我们能够通过这些指针访问到下一个左、右子节点。但一棵树中，还存在着空指针，尤其是叶子结点。这些空指针没有被有效的利用，严格意义上讲，就是一种浪费。很容易发现，对于一个含有n个结点的二叉树，实际上有2n个指针域（每个结点有左右两个指针）。现在思考有几个指针得到了利用，多少个没有得到利用。除了头结点没有被指针指向（假设先不考虑头指针），其余的n-1个节点都被一个指针指向。因此这2n个指针中，有n-1个指针得到了利用，则言下之意，还剩下（2n-(n-1)）=n+1个指针时空指针域。那么这些没有被用到的指针可以被利用吗？

答案是肯定的，这些空指针域可以被利用，而且很好用。

我们先来回顾二叉树的遍历过程，以图1所示二叉树为例。考虑它的中序遍历：从根节点A开始，先找它的左子结点，是B；再看B，B也有左子结点，是D；D还有左子结点，是H；再看H，H没有左子结点了。所以中序遍历第一个元素为H，再看H有没有右子结点，没有，因此H以及H的后续结点（都为空）访问完毕，此时我们来访问它的前序结点，是D。..........直到遍历所有结点。

 在此，我们思考这样一个问题：我们是如何在访问到了H，回头找到D的，进一步找到B的.....。对，我们的核心机制在栈，是通过弹栈的方式。我们找到了后续访问的元素。且先不谈论栈这种机制带来的巨大内存消耗，我们思考这样一个问题：假如我们知道了D的位置（仅仅是知道了D的位置，而不是知道了所有元素的位置），我们想知道树中，访问完了D，与D近邻的下面一个元素是谁？？？

如果我们没有更为优良的机制，我们的做法只能是：做一遍二叉树遍历（对，就是通过栈机制），遍历至少D之前所有的元素和接下来一个元素，我们才知道D接下来是谁？如果我们想访问C接下来的一个元素是谁呢？，对不起，只能遗憾的告诉你，我们要他妈遍历整个二叉树了。说到了这里，你对这个查找过程是不是看起来很眼熟？？似曾相识？？？对，没错，这他妈就是单向链表的查找，时间复杂度为O(n)的单向链表查找！！！！（是不是恍然大悟，现在你明白了普通二叉树遍历的本质是什么了吧！！！）。

你可能觉得这也太蠢了吧，找一个元素我要遍历整颗树，没错，我也是这么想的，这是真的蠢。。。。那么有没有某种方式，使得查找不要这么蠢呢？有，这就是线索二叉树。

鉴于我画图本领不强，我就不就图1所示二叉树进行线索二叉树的详细讲解了，对此，来个简单的

比如：