球的体积交

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了球的体积交相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

题目链接:https://www.zhixincode.com/contest/10/problem/H?problem_id=153

题意:在三维坐标系中,有n个球体,每个球的球心为(xi,yi,zi),半径为ri。再给定一个球(球心为(X,Y,Z),半径为R),求该球与其余n个球相交部分体积。(保证一开始的n个球两两之间没有重叠)

先介绍球缺的概念:

球缺是指球体被平面截去一部分后剩余的部分。截面称为球缺的底面,垂直于截面的直径被此截面截得的线段长称为球缺的高。

技术图片
球缺的表面积:技术图片(R是球体的半径,h是球缺的高,r是球缺的底面半径)

球缺的体积:技术图片技术图片(R是球体的半径,h是球缺的高,r是底面半径)

与球冠区别:球缺是体,而球冠是面,故球冠只能计算表面积

后面附有大牛对球缺体积公式的证明

思路:
因为n个球两两之间没有重叠,所以考虑其中每个球(称为小球)与最后给定的那个球(称为大球)即可。分3种情况:

设 d 为两球球心之间的距离。

一、d >= R+ri :两球不相交,即相交部分体积=0.

二、d+ri = R :小球在大球里面,即相交部分体积 = 小球体积 =  .

三、R-ri < d < R+ri :两球相交,相交部分体积:

设  技术图片, .技术图片

技术图片技术图片 .

V = 技术图片 .

技术图片

证明:https://blog.csdn.net/luyehao1/article/details/86583384

 1 #include <bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3  
 4 typedef long long ll;
 5  
 6 const double pi = acos(-1);
 7  
 8 const int MAX = 100 + 10;
 9 const int inf = 1e9 + 7;
10  
11 typedef struct {
12     double x, y, z, r;
13 }Point;
14  
15 int n;
16 Point a[MAX];
17 Point s;
18  
19 //两点之间距离
20 double dis(Point p, Point q) {
21     double ans = sqrt((p.x - q.x)*(p.x - q.x) + (p.y - q.y)*(p.y - q.y) + (p.z - q.z)*(p.z - q.z));
22     return ans;
23 }
24  
25 int main()
26 {
27     int T;
28     scanf("%d", &T);
29     int Case = 1;
30     while (T--)
31     {
32         scanf("%d", &n);
33         for (int i = 0; i < n; i++) {
34             scanf("%lf%lf%lf%lf", &a[i].x, &a[i].y, &a[i].z, &a[i].r);
35         }
36         scanf("%lf%lf%lf%lf", &s.x, &s.y, &s.z, &s.r);
37         double ans = 0;
38         for (int i = 0; i < n; i++) {
39             double d = dis(s, a[i]);
40             if (d >= s.r + a[i].r) {
41                 continue;
42             }
43             else if (d + a[i].r <= s.r) {
44                 ans += (4.0 / 3)*pi*a[i].r*a[i].r*a[i].r;
45             }
46             else {
47                 double co = (s.r*s.r + d * d - a[i].r*a[i].r) / (2.0*d*s.r);
48                 double h = s.r*(1 - co);
49                 ans += (1.0 / 3)*pi*(3.0*s.r - h)*h*h;
50                 co = (a[i].r*a[i].r + d * d - s.r*s.r) / (2.0*d*a[i].r);
51                 h = a[i].r*(1 - co);
52                 ans += (1.0 / 3)*pi*(3.0*a[i].r - h)*h*h;
53             }
54         }
55         printf("Case #%d: %.10lf
", Case++, ans);
56     }
57     return 0;
58 }

 

以上是关于球的体积交的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

0018---求球的表面积和体积

计算球的体积

1068.球的半径和体积

球的体积并

球的体积公式的推导

计算球的体积 题解