AGC 027D.Modulo Matrix(构造 黑白染色)

Posted 2021-02-11 sovietpower

题目链接

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(Description)

给定(n)，要求构造一个(n imes n)的矩阵，矩阵内的元素两两不同，且任意相邻的两个元素(x,y)，满足(max(x,y) mathbb{mod} min(x,y))等于一个非零常数。
(nleq500, 1leq 矩阵中的元素leq10^{15})。

(Solution)

https://blog.csdn.net/Tiw_Air_Op1721/article/details/82719507 orz!

考虑没有元素互不相同的限制，那么就直接填(x,x+1,x,x+1...)，即对矩阵黑白染色，黑格子填(x)，白格子填(x+1)。
如果有限制，依旧可以先黑白染色，然后令白格子比周围四个黑格子都大。就令(max(x,y) mathbb{mod} min(x,y)=1)好了，这样白格子的权值等于周围四个黑格子的(LCM+1)。
但是这样直接随便给黑格子赋权值，元素是会超过(10^{15})的。
因为是求(LCM)，不妨令黑格子根据对角线设成两个数的乘积。即，对于左上-右下和左下-右上这(2n)条对角线（只考虑黑格子），分别给它一个数。那一个黑格子的它所在的两条对角线上的数的乘积。
要保证任意元素互不相同，所以考虑把这(2n)个数设成(2n)个质数。
那么对于最大的白格子，权值是(第499个质数 imes第500个质数 imes第999个质数 imes第1000个质数<8 imes10^{14})。那么就OK啦。

(n=2)时不对，要特判。

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#include <cstdio>
#include <algorithm>
typedef long long LL;
const int N=505,M=8100;

int P[1005];
LL A[N][N];

void Init()
{
    static bool notP[M];
    for(int cnt=0,i=2; cnt<1000; ++i)
    {
        if(!notP[i]) P[++cnt]=i;
        for(int j=1,v; j<=cnt&&(v=i*P[j])<M; ++j)
        {
            notP[v]=1;
            if(!(i%P[j])) break;
        }
    }
}
inline LL LCM(LL x,LL y)//longlong
{
    return x/std::__gcd(x,y)*y;
}

int main()
{
    Init();
    int n; scanf("%d",&n);
    if(n==2) return printf("4 7
23 10
"),0;
    for(int i=0; i<=n+1; ++i) A[0][i]=1, A[n+1][i]=1, A[i][n+1]=A[i][0]=1;
    for(int i=1; i<=n; ++i)
        for(int j=i&1?1:2; j<=n; j+=2)
            /*if(!(i+j&1))*/ A[i][j]=P[i+j>>1]*P[(i-j+n+1)/2+n];
    for(int i=1; i<=n; ++i)
        for(int j=i&1?2:1; j<=n; j+=2)
            /*if(i+j&1)*/ A[i][j]=LCM(LCM(A[i-1][j],A[i][j-1]),LCM(A[i+1][j],A[i][j+1]))+1;
    for(int i=1; i<=n; ++i,putchar('
'))
        for(int j=1; j<=n; ++j) printf("%lld ",A[i][j]);

    return 0;
}