一本通1633例 3Sumdiv

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了一本通1633例 3Sumdiv相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

1633:【例 3】Sumdiv

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【题目描述】

原题来自:Romania OI 2002

求 ABAB 的所有约数之和 mod9901。

【输入】

输入两个整数 A,B。

【输出】

输出答案 mod9901

【输入样例】

2 3

【输出样例】

15

【提示】

样例说明

23=8,8 的所有约数为 1,2,4,81+2+4+8=15,15mod9901=15,因此输出 15

数据范围与提示:

对于全部数据,0≤A,B≤5×107

 

sol:写了半天几乎吐血终于水过这道板子题

首先有个很显然的东西

 

对于一个数

 

如果他是p1a1*p1a2*p3a3*~~*pnan

 

那么他的因数和就是 (p10+p11+p12+...+p1a1)*(p20+p21+...+p2a2)*...*(pn1+pn2+...+pnan

 

 

于是这道题就是要把所有质因数的幂次的乘积,先来推一下等比公式

令 S = p0+p1+p2+...+pa,       (1)

则p*S = p1+p2+...+pa+pa+1,   (2)

(2)-(1)可以得到 S*(p-1) = pa+1-p0,所以S= (pa+1-p0)/ (p-1) ,前面一项显然Ksm就可以解决,考虑后一项

需要用到p-1的逆元,如何求呢??

定义一个数a(就求a的逆元)

对于任意一个数 X/a ≡ X*Inva  (%Mod)

易知 a*Inva ≡ 1 (%Mod)

随便推导下

原式: a*Inva = 1 (%Mod)
--> a*Inva-k*Mod = 1 (%Mod)
--> a*Inva+P*Mod = 1 (%Mod) (类ax+by=c的形式)

 

配上巨丑无比的代码

技术图片
/*
原式: a*Inva = 1 (%Mod)
  --> a*Inva-k*Mod = 1 (%Mod)
  --> a*Inva+P*Mod = 1 (%Mod) (类ax+by=c的形式)
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read()
{
    ll s=0;
    bool f=0;
    char ch= ;
    while(!isdigit(ch))
    {
        f|=(ch==-); ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48); ch=getchar();
    }
    return (f)?(-s):(s);
}
#define R(x) x=read()
inline void write(ll x)
{
    if(x<0)
    {
        putchar(-); x=-x;
    }
    if(x<10)
    {
        putchar(x+0); return;
    }
    write(x/10);
    putchar((x%10)+0);
    return;
}
#define W(x) write(x),putchar(‘ ‘)
#define Wl(x) write(x),putchar(‘
‘)
const ll Mod=9901;
ll A,B;
int cnt=0;
struct Prime
{
    ll Shuz,Xis;
}Prim[50];
inline ll Ksm(ll x,ll y)
{
    ll ans=1;
    while(y)
    {
        if(y&1)
        {
            ans=ans*x%Mod;
        }
        x=x*x%Mod;
        y>>=1;
    }
    return ans;
}
ll gcd(ll x,ll y)
{
    return (!y)?(x):(gcd(y,x%y));
}
inline void Exgcd(ll a,ll b,ll &X,ll &Y)
{
    if(b==0)
    {
        X=1;
        Y=0;
        return;
    }
    Exgcd(b,a%b,X,Y);
    ll XX=X,YY=Y;
    X=YY;
    Y=XX-a/b*YY;
    return;
}
//a*Inva+Mod*k = 1 (%Mod)
inline ll Inv(ll Num)
{
    ll a,b,c,r,X,Y;
    a=Num;
    b=Mod;
    c=1;
    r=gcd(a,b);
    Exgcd(a,b,X=0,Y=0);
    X=X*r/c;
    ll tmp=b/r;
    X=(X>=0)?(X%tmp):(X%tmp+tmp);
//    printf("X=%lld Test=%lld
",X,Num*X%Mod);
    return X;
}
inline void Solve(ll Num)
{
    int i;
    for(i=2;i<=sqrt(Num);i++)
    {
        if(Num%i==0)
        {
            Prim[++cnt].Shuz=i;
            Prim[cnt].Xis=0;
            while(Num%i==0)
            {
                Prim[cnt].Xis++;
                Num/=i;
            }
            Prim[cnt].Xis*=B;
        }
    }
    if(Num>1)
    {
        Prim[++cnt]=(Prime){Num,B};
    }
    return;
}
int main()
{
    int i;
    ll ans=1ll;
    R(A); R(B);
    Solve(A);
    for(i=1;i<=cnt;i++)
    {
//        printf("%lld %lld
",Prim[i].Shuz,Prim[i].Xis);
        ll tmp=(Ksm(Prim[i].Shuz,Prim[i].Xis+1)-1+Mod)%Mod;
        tmp=tmp*Inv(Prim[i].Shuz-1)%Mod;
        ans=ans*tmp%Mod;
    }
    Wl(ans);
    return 0;
}
/*
input
2 3
output
15

input
10 6
output
5187

input
45279441 39876543
output
6060

input
9 8
output
5660
*/
View Code

 

以上是关于一本通1633例 3Sumdiv的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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