一次同余方程与大衍求一术

Posted 2021-02-11 lfri

一次同余方程

前面已经提到，剩余类可以看作一个特殊的“数”，剩余类环可以看作定义了剩余类加法和乘法的“数集”.类似于实数集情形，我们也可以在剩余类环中解方程或方程组。

例如，在模6的剩余类环中解方程[5][x]=3，这里[x]是模6的剩余类环中的未知剩余类，注意到

$$[5][x] = [3]Leftrightarrow [5x]=[3]Leftrightarrow 6|5x-3 Leftrightarrow 5xequiv 3(mod 6)$$

通常，我们把含有未知数的同余式叫做同余方程，方程$5xequiv 3(mod 6)$是一类形式最简单的同余方程，叫做一次同余方程，形式为

$$axequiv b(mod n)$$

注意，同余方程的解并不是一个数，而是模n下的一个剩余类.

对于一次同余方程，我们关心下面几个问题：

1. $axequiv b(mod n)$在什么情况下有解？
2. 有几个解？
3. 有解时如何求解？

$axequiv b(mod n) Rightarrow ax+nt=b$，由裴蜀不等式知，$ax+nt=b$有解的充分必要条件是$(a, n) | b$，且解的个数为，.

因此，得到如下结论：

一次同余方程$axequiv b(mod n)$有解，则$(a, n) | b$，反过来，当$(a, m)|b$时，一次同余方程$axequiv b(mod n)$恰有$(a, n)$个解.

下面看一个一次同余方程的例子：