模板2-sat
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了模板2-sat相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
2-sat问题:
给定$n$个二元组$(A,B)$,你需要从这些二元组中选取$n$个元素,每个二元组中必须恰好选择一个元素。
同时给出$m$个约束条件,每个条件形如“选A必须选B”、“选A就不能选B”等。求一种合法的选取方案。
思路:
暴力$O(2^n imes m)$多好啊。
考虑将所有约束条件转化成“选A必须选B”这种类型。
建立一个有$2 imes n$个节点的图,对于每个条件我们连一条$A ightarrow B$的有向边。
此时这张图满足一些性质:
- 如果存在一个二元组$(A,B)$,使得A可达B且B可达A(即A、B在同一个强连通分量中),那么肯定无解。若不存在这样的二元组那么一定有解。
- 若一个点被选入答案序列,那么这个点所有的可达节点都必须被选入。
- 若一个点确定不被选入答案序列,那么所有可达这个点的节点都不能被选入。
基于后两个性质,我们考虑先将原图缩点(保证无环)。然后建立原图的反图。
按照反图的拓扑序依次选择节点并标记为选,同时将与该节点在同一二元组内的点标记为不选,将不选标记沿着路径传递。
该方法的证明见此:赵爽《2-SAT解法浅析》。
模板题目:loj10097
#include<algorithm> #include<iostream> #include<cstring> #include<cstdio> #include<stack> using namespace std; #define MAXN 100005 #define MAXM 500005 #define INF 0x7fffffff #define ll long long inline int read(){ int x=0,f=1; char c=getchar(); for(;!isdigit(c);c=getchar()) if(c==‘-‘) f=-1; for(;isdigit(c);c=getchar()) x=x*10+c-‘0‘; return x*f; } int N,M,hd[MAXN],to[MAXM],nxt[MAXM],cnt; int dfn[MAXN],low[MAXN],cl[MAXN],tot,num; bool vis[MAXN]; stack<int> s; inline void addedge(int u,int v) {to[++cnt]=v,nxt[cnt]=hd[u],hd[u]=cnt;} inline void tarjan(int u){ dfn[u]=low[u]=++num; vis[u]=1;s.push(u); for(int i=hd[u];i;i=nxt[i]){ int v=to[i]; if(!dfn[v]) tarjan(v),low[u]=min(low[u],low[v]); else if(vis[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]); } if(dfn[u]==low[u]){ tot++; while(s.top()!=u){ cl[s.top()]=tot; vis[s.top()]=0; s.pop(); } cl[s.top()]=tot; vis[s.top()]=0; s.pop(); } } int main(){ N=read()<<1,M=read(); for(int i=1;i<=M;i++){ int u=read(),v=read(); addedge(u,(v&1)?v+1:v-1); addedge(v,(u&1)?u+1:u-1); } for(int i=1;i<=N;i++) if(!dfn[i]) tarjan(i); for(int i=1;i<=N;i+=2) if(cl[i]==cl[i+1]){ printf("NIE "); return 0; } for(int i=1;i<=N;i+=2) if(cl[i]<cl[i+1]) printf("%d ",i); else printf("%d ",i+1); return 0; }
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