min-max容斥

Posted 2021-02-11 dummyummy

这玩意儿一般都是跟概率期望结合的吧，就是下面这个式子（(max(S))代表集合(S)中的最大值，(min(S))同理）：
[max(S)=sumlimits_{Tsubseteq S}(-1)^{left | T ight |-1}min(T)]
证明的话就考虑第(k)大的元素对(max(S))的贡献就行了，把式子列出来之后你会发现它的贡献只有在(k=1)时才为(1)，在(k>1)全部为(0)
能用它做的期望题一般都是这样的：每次操作把集合中的一个数从(0)变为(1)，求全部的数都变为(1)的期望次数。
我们就令(max(S))表示(S)中的元素全部变为(1)的期望次数，(min(T))表示(T)中的元素至少有一个变为(1)的期望次数，那么它们也满足上面的那个式子（貌似是因为期望的线性性？）
给一道例题：HDU4336 Card Collector
不就是个板子吗。。。
还有一道[HAOI2015]按位或需要和(FWT)一起搞