解题：八省联考2018 林克卡特树

Posted 2021-02-11 ydnhaha

题面

DP凸优化

题目并不难

先转化问题，显然k=0的时候我们都知道是求直径，然后k=1就是选两条点不相交的链拼起来，很容易推出题目就是要我们在树上选$k+1$条点不相交的链

事实上你直接按照边不相交做，取k+1次直径都可以得到50pts的好成绩，我佛了(不要问我怎么知道的

这个东西是可以DP的(稍微有点麻烦)：设$dp[i][j][0/1/2]$表示以$i$为根的子树里选出j条链，这时i的度数为0/1/2的最优解。度数为零表示i是单独一个点，度数为1表示是链的端点，度数为2就是链中间的一个点

然后转移就是拼来拼去，看代码吧

60pts暴力DP↓

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 const int N=300005,K=105;
 6 int n,k,t1,t2,t3,cnt;
 7 long long dp[N][K][3];
 8 int p[N],noww[2*N],goal[2*N],val[2*N],siz[N];
 9 void Maxi(long long &x,long long y)
10 {
11     if(x<y) x=y;
12 }
13 void Link(int f,int t,int v)
14 {
15     noww[++cnt]=p[f],p[f]=cnt;
16     goal[cnt]=t,val[cnt]=v;
17     noww[++cnt]=p[t],p[t]=cnt;
18     goal[cnt]=f,val[cnt]=v;
19 }
20 void DFS(int nde,int fth)
21 {
22     siz[nde]=1;
23     dp[nde][0][0]=dp[nde][1][1]=dp[nde][1][2]=0;
24     for(int i=p[nde];i;i=noww[i])
25         if(goal[i]!=fth)
26         {
27             int g=goal[i]; DFS(g,nde);
28             for(int j=min(siz[nde],k);~j;j--)
29                 for(int h=min(siz[goal[i]],k-j+1);~h;h--)
30                 {
31                     for(int l=0;l<=2;l++)    
32                         for(int f=0;f<=2;f++)
33                             Maxi(dp[nde][j+h][l],dp[nde][j][l]+dp[g][h][f]);
34                     if(j+h<k) Maxi(dp[nde][j+h+1][1],dp[nde][j][0]+dp[g][h][0]+val[i]);
35                     Maxi(dp[nde][j+h][1],dp[nde][j][0]+dp[g][h][1]+val[i]);
36                     Maxi(dp[nde][j+h][2],dp[nde][j][1]+dp[g][h][0]+val[i]);
37                     if(j&&h) Maxi(dp[nde][j+h-1][2],dp[nde][j][1]+dp[g][h][1]+val[i]);
38                 }
39             siz[nde]+=siz[goal[i]];
40         }
41 }
42 int main()
43 {
44     scanf("%d%d",&n,&k),k++;
45     for(int i=1;i<n;i++)
46     {
47         scanf("%d%d%d",&t1,&t2,&t3);
48         Link(t1,t2,t3);
49     }
50     memset(dp,0xc0,sizeof dp),DFS(1,0);
51     printf("%lld",max(dp[1][k][0],max(dp[1][k][1],dp[1][k][2])));
52     return 0;
53 }

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考虑优化

官方的题解是这么写的：

emmmm......

好吧我们不管具体过程，先假装我们发现了这个规律。差分后递减，说明这是个上凸函数(以选取的链数为x轴，最优解为y轴)。这种DP有个套路的优化方法叫做凸优化：二分斜率，然后我们强制选取物品时额外付出斜率的代价(这里是选链)。这时套用原来那个DP(把它当成一个黑箱，输入直线输出切点)，相当于不限制数目地选取。最后得到一个最优情况下选出来的数目，根据这个数目调整二分上下界即可。

为什么这是对的？

数形结合地考虑这个问题，减去斜率相当于把

 1 #include<cstdio>
 2 #include<cstring>
 3 #include<algorithm>
 4 using namespace std;
 5 const int N=600005;
 6 int p[N],noww[N],goal[N],val[N];
 7 int n,k,t1,t2,t3,cnt; long long del;
 8 struct a
 9 {
10     int cho; 
11     long long sum;
12 }dp[N][3];
13 a operator + (a x,a y)
14 {
15     return (a){x.cho+y.cho,x.sum+y.sum};
16 }
17 bool operator < (a x,a y)
18 {
19     if(x.sum^y.sum) return x.sum<y.sum;
20     return x.cho<y.cho;
21 }
22 void Maxi(a &x,a y)
23 {
24     if(x<y) x=y;
25 }
26 void Link(int f,int t,int v)
27 {
28     noww[++cnt]=p[f],p[f]=cnt;
29     goal[cnt]=t,val[cnt]=v;
30     noww[++cnt]=p[t],p[t]=cnt;
31     goal[cnt]=f,val[cnt]=v;
32 }
33 void DFS(int nde,int fth)
34 {
35     dp[nde][2]={1,-del};
36     for(int i=p[nde];i;i=noww[i])
37         if(goal[i]!=fth)
38         {
39             int g=goal[i]; DFS(g,nde);
40             dp[nde][2]=max(dp[nde][2]+dp[g][0],dp[nde][1]+dp[g][1]+(a){1,val[i]-del});
41             dp[nde][1]=max(dp[nde][1]+dp[g][0],dp[nde][0]+dp[g][1]+(a){0,val[i]});
42             dp[nde][0]=dp[nde][0]+dp[g][0];
43         }
44     Maxi(dp[nde][0],dp[nde][1]+(a){1,-del});
45     Maxi(dp[nde][0],dp[nde][2]);
46 }
47 int Calc(long long x)
48 {
49     del=x;
50     for(int i=1;i<=n;i++) 
51         dp[i][0]=dp[i][1]=(a){0,0}; DFS(1,0);
52     return dp[1][0].cho;
53 }
54 int main()
55 {
56     scanf("%d%d",&n,&k),k++;
57     for(int i=1;i<n;i++)
58     {
59         scanf("%d%d%d",&t1,&t2,&t3);
60         Link(t1,t2,t3);
61     }
62     long long l=-1e12,r=1e12,ans=0;
63     while(l<=r)
64     {
65         long long mid=(l+r)>>1;
66         (Calc(mid)>=k)?l=mid+1,ans=mid:r=mid-1;
67     }
68     Calc(ans),printf("%lld",dp[1][0].sum+ans*k);
69     return 0;
70 }

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