CodeForces 932E. Team Work

Posted 2021-02-11

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??????????????????$n leq 10^9$?????????????????????????????????$X$????????????????????????????????????$k leq 5000$??????$|X|^k$?????????

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???$[n] = {1, 2, 3, dots, n }$?????????$|emptyset| = 0$??????????????????????????????

$$
sum_{X subseteq [n]} |X|^k
= sum_{x=0}^n x^k sum_{X subseteq [n]} [|X|=x] = sum_{x=0}^n inom{n}{x} x^k.
$$

???????????????????????????????????????

$$ x^n = sum_{k=0}^n k! egin{Bmatrix} n \ k end{Bmatrix} inom{x}{k}. $$

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$$
egin{aligned}
sum_{x=0}^n inom{n}{x} i^k
& = sum_{x=0}^n inom{n}{x} sum_{i=0}^k i! egin{Bmatrix} k \ i end{Bmatrix} inom{x}{i} \
& = sum_{i=0}^k egin{Bmatrix} k \ i end{Bmatrix} sum_{x=i}^n frac {n!} {(n-x)! (x-i)!} \
& = sum_{i=0}^{min{k, n}} frac {n!} {(n-i)!} egin{Bmatrix} k \ i end{Bmatrix} sum_{x=i}^n inom{n-i}{n-x} \
& = sum_{i=0}^{min{k, n}} n^{underline{i}} 2^{n-i} egin{Bmatrix} k \ i end{Bmatrix} 
end{aligned}
$$

?????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????$O(k^2 log n)$???