前缀、中缀、后缀表达式(逆波兰表达式)
介绍
前缀表达式、中缀表达式、后缀表达式都是四则运算的表达方式,用以四则运算表达式求值
,即数学表达式的求职
中缀表达式
简介
中缀表达式就是常见的运算表达式，如(3+4)×5-6
前缀表达式
简介
前缀表达式又称波兰式，前缀表达式的运算符位于操作数之前
比如:- × + 3 4 5 6
前缀表达式的计算机求值
从右至左扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（栈顶元素 op 次顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最左端，最后运算得出的值即为表达式的结果
-
例如:- × + 3 4 5 6
- 从右至左扫描，将6、5、4、3压入堆栈
- 遇到+运算符，因此弹出3和4（3为栈顶元素，4为次顶元素，注意与后缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈
- 接下来是×运算符，因此弹出7和5，计算出7×5=35，将35入栈
- 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果
将中缀表达式转换为前缀表达式
转换步骤如下:
- 初始化两个栈:运算符栈s1，储存中间结果的栈s2
- 从右至左扫描中缀表达式
- 遇到操作数时，将其压入s2
- 遇到运算符时，比较其与s1栈顶运算符的优先级
- 如果s1为空，或栈顶运算符为右括号“)”，则直接将此运算符入栈
- 否则，若优先级比栈顶运算符的较高或相等，也将运算符压入s1
- 否则，将s1栈顶的运算符弹出并压入到s2中，再次转到(4-1)与s1中新的栈顶运算符相比较
- 遇到括号时
- 如果是右括号“)”，则直接压入s1
- 如果是左括号“(”，则依次弹出S1栈顶的运算符，并压入S2，直到遇到右括号为止，此时将这一对括号丢弃
- 重复步骤2至5，直到表达式的最左边
- 将s1中剩余的运算符依次弹出并压入s2
- 依次弹出s2中的元素并输出，结果即为中缀表达式对应的前缀表达式
例如:1+((2+3)×4)-5具体过程，如下表
| 扫描到的元素 | S2(栈底->栈顶) | S1 (栈底->栈顶) | 说明 |
|---|---|---|---|
| 5 | 5 | 空 | 数字，直接入栈 |
| - | 5 | - | s1为空，运算符直接入栈 |
| ) | 5 | -) | 右括号直接入栈 |
| 4 | 5 4 | -) | 数字直接入栈 |
| x | 5 4 | -)x | s1栈顶是右括号，直接入栈 |
| ) | 5 4 | -)x) | 右括号直接入栈 |
| 3 | 5 4 3 | -)x) | 数字 |
| + | 5 4 3 | -)x)+ | s1栈顶是右括号，直接入栈 |
| 2 | 5 4 3 2 | -)x)+ | 数字 |
| ( | 5 4 3 2 + | -)x | 左括号，弹出运算符直至遇到右括号 |
| ( | 5 4 3 2 + x | - | 同上 |
| + | 5 4 3 2 + x | -+ | 优先级与-相同，入栈 |
| 1 | 5 4 3 2 + x 1 | -+ | 数字 |
| 到达最左端 | 5 4 3 2 + x 1 + - | 空 | s1剩余运算符 |
结果是:- + 1 × + 2 3 4 5
后缀表达式
简介
后缀表达式又称逆波兰表达式,与前缀表达式相似，只是运算符位于操作数之后
比如:3 4 + 5 × 6 -
后缀表达式计算机求值
与前缀表达式类似，只是顺序是从左至右：
从左至右扫描表达式，遇到数字时，将数字压入堆栈，遇到运算符时，弹出栈顶的两个数，用运算符对它们做相应的计算（次顶元素 op 栈顶元素），并将结果入栈；重复上述过程直到表达式最右端，最后运算得出的值即为表达式的结果
例如后缀表达式“3 4 + 5 × 6 -”：
- 从左至右扫描，将3和4压入堆栈；
- 遇到+运算符，因此弹出4和3（4为栈顶元素，3为次顶元素，注意与前缀表达式做比较），计算出3+4的值，得7，再将7入栈；
- 将5入栈；
- 接下来是×运算符，因此弹出5和7，计算出7×5=35，将35入栈；
- 将6入栈；
- 最后是-运算符，计算出35-6的值，即29，由此得出最终结果。
将中缀表达式转换为后缀表达式
与转换为前缀表达式相似，步骤如下：
- 初始化两个栈：运算符栈s1和储存中间结果的栈s2；
- 从左至右扫描中缀表达式；
- 遇到操作数时，将其压s2；
- 遇到运算符时，比较其与s1栈顶运算符的优先级：
- 如果s1为空，或栈顶运算符为左括号“(”，则直接将此运算符入栈；
- 否则，若优先级比栈顶运算符的高，也将运算符压入s1（注意转换为前缀表达式时是优先级较高或相同，而这里则不包括相同的情况）；
- 否则，将s1栈顶的运算符弹出并压入到s2中，再次转到(4-1)与s1中新的栈顶运算符相比较；
- 遇到括号时：
- 如果是左括号“(”，则直接压入s1；
- 如果是右括号“)”，则依次弹出s1栈顶的运算符，并压入s2，直到遇到左括号为止，此时将这一对括号丢弃；
- 重复步骤2至5，直到表达式的最右边；
- 将s1中剩余的运算符依次弹出并压入s2；
- 依次弹出s2中的元素并输出，结果的逆序即为中缀表达式对应的后缀表达式（转换为前缀表达式时不用逆序）
例如，将中缀表达式“1+((2+3)×4)-5”转换为后缀表达式的过程如下：
| 扫描到的元素 | s2(栈底->栈顶) | s1 (栈底->栈顶) | 说明 |
|---|---|---|---|
| 1 | 1 | 空 | 数字，直接入栈 |
| + | 1 | + | s1为空，运算符直接入栈 |
| ( | 1 | + ( | 左括号，直接入栈 |
| ( | 1 | + ( ( | 同上 |
| 2 | 1 2 | + ( ( | 数字 |
| + | 1 2 | + ( ( + | s1栈顶为左括号，运算符直接入栈 |
| 3 | 1 2 3 | + ( ( + | 数字 |
| ) | 1 2 3 + | + ( | 右括号，弹出运算符直至遇到左括号 |
| × | 1 2 3 + | + ( × | s1栈顶为左括号，运算符直接入栈 |
| 4 | 1 2 3 + 4 | + ( × | 数字 |
| ) | 1 2 3 + 4 × | + | 右括号，弹出运算符直至遇到左括号 |
| - | 1 2 3 + 4 × + | - | -与+优先级相同，因此弹出+，再压入- |
| 5 | 1 2 3 + 4 × + 5 | - | 数字 |
| 到达最右端 | 1 2 3 + 4 × + 5 - | 空 | s1中剩余的运算符 |
因此结果为“1 2 3 + 4 × + 5 -”
则用Java实现的代码如下：
1 package Test1; 2 import java.util.Scanner; 3 import java.util.Stack; 4 public class Main{ 5 6 public static Stack<Integer> aIntegers=new Stack<>();//HouDui的数值栈 7 public static Stack<String> aCharacter2=new Stack<>();//MidToHou的数值栈的 8 public static Stack<String> aCharacter=new Stack<>();//MidToHou的符号栈 9 static int length; 10 static int length1; 11 public static String[] array1=new String[1000]; 12 public static char array[]=new char[100]; 13 public static void main(String[] args){ 14 15 Scanner scanner=new Scanner(System.in); 16 String aString=scanner.nextLine(); 17 length=aString.length(); 18 length1=0; 19 for (int i = 0; i < aString.length(); i++) { 20 array[i]=aString.charAt(i); 21 } 22 MidToHou(array); 23 HouDui(array1); 24 } 25 static int sum(char a[],int start, int end) {//某些数会大于9， 26 int i, sum = 0; 27 for (i = start; i <end; i++) 28 sum = sum * 10 + (int)a[i]-48; 29 return sum; 30 } 31 public static void MidToHou(char array[])//中缀变为后缀 32 { 33 for (int i = 0; i < length; i++) { 34 if(array[i]>=‘0‘ && array[i]<=‘9‘) 35 { 36 int j=i+1; 37 while(true) 38 { 39 if(array[j]>=‘0‘&&array[j]<=‘9‘) { 40 j++; 41 }else { 42 break; 43 } 44 } 45 int m=sum(array, i, j); 46 String m1=String.valueOf(m); 47 aCharacter2.push(m1); 48 i=j-1; 49 } 50 else { 51 if(array[i]==‘(‘) { 52 aCharacter.push(String.valueOf(array[i])); 53 continue; 54 } 55 if(aCharacter.isEmpty()==true || aCharacter.peek().equals("(")) { 56 aCharacter.push(String.valueOf(array[i])); 57 continue; 58 } 59 if(array[i]==‘)‘) { 60 while(true) { 61 String s=aCharacter.pop(); 62 if(s.equals("(")) break; 63 else 64 aCharacter2.push(s); 65 } 66 continue; 67 } 68 if((array[i]==‘*‘ || array[i]==‘/‘) && (aCharacter.peek().equals("+") || aCharacter.peek().equals("-"))) { 69 aCharacter.push(String.valueOf(array[i])); 70 }else { 71 aCharacter2.push(aCharacter.pop()); 72 i--; 73 } 74 75 } 76 } 77 while(aCharacter.isEmpty()==false) 78 { 79 aCharacter2.push(aCharacter.pop()); 80 } 81 length1=0; 82 while(aCharacter2.isEmpty()==false) { 83 array1[length1++]=aCharacter2.pop(); 84 } 85 } 86 public static void HouDui(String array[])//根据后缀表达式求出结果 87 { 88 89 for (int i = length1-1; i >=0; i--) { 90 if(array[i].equals("-")==false && array[i].equals("+")==false && array[i].equals("*")==false && array[i].equals("/")==false) { 91 aIntegers.push(Integer.parseInt(array[i])); 92 }else { 93 if(array[i].equals("-")) { 94 int a=aIntegers.pop(); 95 int b=aIntegers.pop(); 96 int c=b-a; 97 aIntegers.push(c); 98 } 99 if(array[i].equals("+")) { 100 int a=aIntegers.pop(); 101 int b=aIntegers.pop(); 102 int c=b+a; 103 aIntegers.push(c); 104 } 105 if(array[i].equals("*")) { 106 int a=aIntegers.pop(); 107 int b=aIntegers.pop(); 108 int c=b*a; 109 aIntegers.push(c); 110 } 111 if(array[i].equals("/")) { 112 int a=aIntegers.pop(); 113 int b=aIntegers.pop(); 114 int c=b/a; 115 aIntegers.push(c); 116 } 117 118 } 119 } 120 int answer=aIntegers.pop(); 121 System.out.println(answer); 122 } 123 }