几年前写的一篇KMP算法

Posted 2021-02-10 famen

KMP的next数组求法是很不容易搞清楚的一部分，也是最重要的一部分。我这篇文章就以我自己的感悟来慢慢推导一下吧！保证你看完过后是知其然，也知其所以然。

如果你还不知道KMP是什么，请先阅读上面的链接，先搞懂KMP是要干什么。
下面我们就来说说KMP的next数组求法。
KMP的next数组简单来说，假设有两个字符串，一个是待匹配的字符串strText,一个是要查找的关键字strKey。现在我们要在strText中去查找是否包含strKey，用i来表示strText遍历到了哪个字符，用j来表示strKey匹配到了哪个字符。
如果是暴力的查找方法，当strText[i]和strKey[j]匹配失败的时候，i和j都要回退，然后从i-j的下一个字符开始重新匹配。
而KMP就是保证i永远不回退，只回退j来使得匹配效率有所提升。它用的方法就是利用strKey在失配的j为之前的成功匹配的子串的特征来寻找j应该回退的位置。而这个子串的特征就是前后缀的相同程度。
所以next数组其实就是查找strKey中每一位前面的子串的前后缀有多少位匹配，从而决定j失配时应该回退到哪个位置。

我知道上面那段废话很难懂，下面我们看一个彩图：

这个图画的就是strKey这个要查找的关键字字符串。假设我们有一个空的next数组，我们的工作就是要在这个next数组中填值。
下面我们用数学归纳法来解决这个填值的问题。
这里我们借鉴数学归纳法的三个步骤（或者说是动态规划？）：
1、初始状态
2、假设第j位以及第j位之前的我们都填完了
3、推论第j+1位该怎么填

初始状态我们稍后再说，我们这里直接假设第j位以及第j位之前的我们都填完了。也就是说，从上图来看，我们有如下已知条件：
next[j] == k;
next[k] == 绿色色块所在的索引;
next[绿色色块所在的索引] == 黄色色块所在的索引;
这里要做一个说明：图上的色块大小是一样的（没骗我？好吧，请忽略色块大小，色块只是代表数组中的一位）。

我们来看下面一个图，可以得到更多的信息：

1.由"next[j] == k;"这个条件，我们可以得到A1子串 == A2子串（根据next数组的定义，前后缀那个）。

2.由"next[k] == 绿色色块所在的索引;"这个条件，我们可以得到B1子串 == B2子串。

3.由"next[绿色色块所在的索引] == 黄色色块所在的索引;"这个条件，我们可以得到C1子串 == C2子串。

4.由1和2(A1 == A2，B1 == B2)可以得到B1 == B2 == B3。

5.由2和3(B1 == B2， C1 == C2)可以得到C1 == C2 == C3。

6.B2 == B3可以得到C3 == C4 == C1 == C2

上面这个就是很简单的几何数学，仔细看看都能看懂的。我这里用相同颜色的线段表示完全相同的子数组，方便观察。

 

接下来，我们开始用上面得到的条件来推导如果第j+1位失配时，我们应该填写next[j+1]为多少？

next[j+1]即是找strKey从0到j这个子串的最大前后缀：

#：(#:在这里是个标记，后面会用)我们已知A1 == A2，那么A1和A2分别往后增加一个字符后是否还相等呢？我们得分情况讨论：

(1)如果str[k] == str[j]，很明显，我们的next[j+1]就直接等于k+1。

　　用代码来写就是next[++j] = ++k;

(2)如果str[k] != str[j]，那么我们只能从已知的，除了A1，A2之外，最长的B1，B3这个前后缀来做文章了。

那么B1和B3分别往后增加一个字符后是否还相等呢？

由于next[k] == 绿色色块所在的索引，我们先让k = next[k]，把k挪到绿色色块的位置，这样我们就可以递归调用"#："标记处的逻辑了。

 

由于j+1位之前的next数组我们都是假设已经求出来了的，因此，上面这个递归总会结束，从而得到next[j+1]的值。

 

我们唯一欠缺的就是初始条件了：

next[0] = -1,  k = -1, j = 0

另外有个特殊情况是k为-1时，不能继续递归了，此时next[j+1]应该等于0，即把j回退到首位。

即 next[j+1] = 0; 也可以写成next[++j] = ++k;

 

public static int[] getNext(String ps)
{
    char[] strKey = ps.toCharArray();
    int[] next = new int[strKey.length];

    // 初始条件
    int j = 0;
    int k = -1;
    next[0] = -1;
 
    // 根据已知的前j位推测第j+1位
    while (j < strKey.length - 1)
    {
        if (k == -1 || strKey[j] == strKey[k])
        {
            next[++j] = ++k;
        }
        else
        {
            k = next[k];
        }
    }

     return next;
}

 

现在再看这段代码应该没有任何问题了吧。

优化：

细心的朋友应该发现了，上面有这样一句话：

(1)如果str[k] == str[j]，很明显，我们的next[j+1]就直接等于k+1。用代码来写就是next[++j] = ++k;

可是我们知道，第j+1位是失配了的，如果我们回退j后，发现新的j(也就是此时的++k那位)跟回退之前的j也相等的话，必然也是失配。所以还得继续往前回退。

public static int[] getNext(String ps)
{
    char[] strKey = ps.toCharArray();
    int[] next = new int[strKey.length];

    // 初始条件
    int j = 0;
    int k = -1;
    next[0] = -1;
 
    // 根据已知的前j位推测第j+1位
    while (j < strKey.length - 1)
    {
        if (k == -1 || strKey[j] == strKey[k])
        {
            // 如果str[j + 1] == str[k + 1]，回退后仍然失配，所以要继续回退
            if (str[j + 1] == str[k + 1])
            {
                next[++j] = next[++k];
            }
            else
            {
                next[++j] = ++k;
            }
        }
        else
        {
            k = next[k];
        }
    }

     return next;
}