[强连通分量+Tarjan缩点]

Posted 2021-02-10 -wind-

强连通分量

定义：有向图强连通分量：在有向图G中，如果两个顶点vi,vj间（vi>vj）有一条从vi到vj的有向路径，同时还有一条从vj到vi的有向路径，则称两个顶点强连通(strongly connected)。如果有向图G的每两个顶点都强连通，称G是一个强连通图。有向图的极大强连通子图，称为强连通分量(strongly connected components)。

 

1. Tarjan 是 一种基于 dfs 的算法 ，图中每个强连通分量为搜索树的一棵子树
2. 搜索时，把当前搜索树中未处理的节点加入一个堆栈，回溯时可以判断栈顶到栈中的节点是否为一个强连通分量。
3. 用 dfn[x] 表示 x 在 dfs 时 的时间戳 （第几个遍历到的），low[x] 表示 x 及其 子树 能 追溯 到的 最早的栈中 节点 的时间戳。
4. 考虑到 如果 u 是某个 强连通分量的根，那么：

• u不存在路径可以返回到它的祖先
• u的子树也不存在路径可以返回到u的祖先

　　所以 当 low[x] == dfn[x] 时 x 恰好 是一个 强连通分量的根。

模拟：