一本通1626例 2Hankson 的趣味题

Posted 2021-02-10 gaojunonly1

1626：【例 2】Hankson 的趣味题

题目描述

　　Hanks 博士是BT (Bio-Tech，生物技术) 领域的知名专家，他的儿子名叫Hankson。现在，刚刚放学回家的Hankson 正在思考一个有趣的问题。今天在课堂上，老师讲解了如何求两个正整数c1 和c2 的最大公约数和最小公倍数。现在Hankson 认为自己已经熟练地掌握了这些知识，他开始思考一个“求公约数”和“求公倍数”之类问题的“逆问题”，这个问题是这样的：已知正整数a0,a1,b0,b1，设某未知正整数x 满足：
1、x 和a0 的最大公约数是a1；
2、x 和b0 的最小公倍数是b1。
Hankson 的“逆问题”就是求出满足条件的正整数x。但稍加思索之后，他发现这样的x 并不唯一，甚至可能不存在。因此他转而开始考虑如何求解满足条件的x 的个数。请你帮助他编程求解这个问题。

输入格式

　　输入文件名为 son.in。第一行为一个正整数n，表示有n 组输入数据。接下来的n 行每行一组输入数据，为四个正整数a0，a1，b0，b1，每两个整数之间用一个空格隔开。输入数据保证a0 能被a1 整除，b1 能被b0 整除。

输出格式

　　输出文件 son.out 共n 行。每组输入数据的输出结果占一行，为一个整数。对于每组数据：若不存在这样的 x，请输出0；若存在这样的 x，请输出满足条件的x 的个数；

样例数据 1

输入

2
41 1 96 288
95 1 37 1776

输出

6
2

「说明」第一组输入数据，x 可以是9、18、36、72、144、288，共有6 个。第二组输入数据，x 可以是48、1776，共有2 个。

备注

「数据范围」
对于 50%的数据，保证有1≤a0，a1，b0，b1≤10000 且n≤100。
对于 100%的数据，保证有1≤a0，a1，b0，b1≤2,000,000,000 且n≤2000。

 

sol：有一种能得90pts的优秀暴力，i 从1~sqrt（n）枚举，判断 i 和 b1/i 是否可行 （非常好打）

/*
原式 b0*x/gcd(b0,x) = b1
  -->b0*x = gcd(b0,x)*b1
  -->b0*x/b1 = gcd(b0,x)
  -->gcd(b0,x) = b0*x/b1
  -->gcd(b1/x,b1/b0) = 1
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
inline ll read()
{
    ll s=0;
    bool f=0;
    char ch=‘ ‘;
    while(!isdigit(ch))
    {
        f|=(ch==‘-‘); ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48); ch=getchar();
    }
    return (f)?(-s):(s);
}
#define R(x) x=read()
inline void write(ll x)
{
    if(x<0)
    {
        putchar(‘-‘); x=-x;
    }
    if(x<10)
    {
        putchar(x+‘0‘); return;
    }
    write(x/10);
    putchar((x%10)+‘0‘);
    return;
}
#define W(x) write(x),putchar(‘ ‘)
#define Wl(x) write(x),putchar(‘
‘)
ll a0,a1,b0,b1;
inline ll gcd(ll x,ll y)
{
    return (!y)?(x):(gcd(y,x%y));
}
inline int Solve(int x)
{
    return ((gcd(a0,x)==a1)&&gcd(b1/x,b1/b0)==1)?1:0;
}
int main()
{
    int i,T;
    R(T);
    while(T--)
    {
        R(a0); R(a1); R(b0); R(b1);
        int ans=0;
        for(i=1;i<=sqrt(b1);i++) if(b1%i==0)
        {
            ans=ans+Solve(i);
            if(i*i!=b1) ans+=Solve(b1/i);
        }
        Wl(ans);
    }
    return 0;
}
/*
input
2
41 1 96 288
95 1 37 1776
output
6
2
*/

暴力

 

正解是这样的，暴力枚举b1的质因数：对于一个质因数 k

对于 a0中若有 k^c0，a1中有k^c1：那么因为gcd（a0，x）=a1，所以c0必须不小于c1，否则无解，如果c0=c1，那么x中k的系数可以是任意一个大于等于c0的数，反正gcd后还是k^c0，如果c0>c1，那么x中k的系数必须是c1

对于b0中若有 k^c2，b1中有k^c3：那么因为lcm（b0，x）=b1，所以c2必须不大于c3，否则无解，如果c2=c3，那么x中k的系数可以是任意一个小于等于c3的数，反正lca后还是k^c3，如果c2<c3，那么x中k的系数必须是c3

Ps：想清楚后代码也很简单（关键是要想明白）

/*
原式 b0*x/gcd(b0,x) = b1
  -->b0*x = gcd(b0,x)*b1
  -->b0*x/b1 = gcd(b0,x)
  -->gcd(b0,x) = b0*x/b1
  -->gcd(b1/x,b1/b0) = 1
  
    gcd(x,a0)==a1
    lcm(x,b0)==b1
    //b1一定是x的整倍数，而x一定是a1的整倍数
*/
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef int ll;
inline ll read()
{
    ll s=0;
    bool f=0;
    char ch=‘ ‘;
    while(!isdigit(ch))
    {
        f|=(ch==‘-‘); ch=getchar();
    }
    while(isdigit(ch))
    {
        s=(s<<3)+(s<<1)+(ch^48); ch=getchar();
    }
    return (f)?(-s):(s);
}
#define R(x) x=read()
inline void write(ll x)
{
    if(x<0)
    {
        putchar(‘-‘); x=-x;
    }
    if(x<10)
    {
        putchar(x+‘0‘); return;
    }
    write(x/10);
    putchar((x%10)+‘0‘);
    return;
}
#define W(x) write(x),putchar(‘ ‘)
#define Wl(x) write(x),putchar(‘
‘)
const int N=50005;
int a0,a1,b0,b1,ans;
bool Bo[N];
int Prim[N];
inline void Pre_Prime()
{
    int i,j;
    for(i=2;i<=50000;i++)
    {
        if(!Bo[i]) Prim[++*Prim]=i;
        for(j=1;j<=*Prim&&Prim[j]*i<=50000;j++)
        {
            Bo[Prim[j]*i]=1;
            if(i%Prim[j]==0) break;
        }
    }
    return;
}
inline void Solve(int x)
{
    int c0=0,c1=0,c2=0,c3=0;
    while(a0%x==0){a0/=x; c0++;}
    while(a1%x==0){a1/=x; c1++;}
    while(b0%x==0){b0/=x; c2++;}
    while(b1%x==0){b1/=x; c3++;}
    if(c0<c1||c2>c3)
    {
        ans=0;
        return;
    }
    if(c0==c1&&c2==c3)
    {
        if(c1<=c3) ans*=c3-c1+1;
        else ans=0;
    }
    else if(c0>c1&&c2<c3&&c1!=c3)
    {
        ans=0;
    }
    return;
}
int main()
{
//    freopen("son9.in","r",stdin);
//    freopen("my.out","w",stdout);
    int i,T;
    Pre_Prime();
    R(T);
    while(T--)
    {
        R(a0); R(a1); R(b0); R(b1);
        ans=1;
        for(i=1;i<=*Prim&&Prim[i]<b1&&ans;i++)
        {
            Solve(Prim[i]);
        }
        if(b1>1) Solve(b1);
        Wl(ans);
    }
    return 0;
}
/*
input
2
41 1 96 288
95 1 37 1776
output
6
2

input
2
10 10 10 10
5 1 2 10
output
1
0
*/

View Code