[51nod1965]奇怪的式子（Min_25筛）

Posted 2021-02-10 bztminamoto

题面

传送门

题解

好毒啊……(de)了一个晚上的(bug)……

题目所求为

[prod_{i=1}^nsigma_0(i)^{mu(i)+i}(mod 10^{12}+39)]

那么我们把式子拆开来，变成

[(prod_{i=1}^nsigma_0(i)^{mu(i)})(prod_{i=1}^nsigma_0(i)^i)]

左边

现在就是要求(prod_{i=1}^nsigma_0(i)^{mu(i)})

我们发现只有在所有质因子都不超过(1)个的时候才会有(mu(i) eq 0)

那么上式就可以转化一下

[prod_{i=1}^nsigma_0(i)^{mu(i)}=prod_{i=1}^n 2^{c(i)mu(i)}=2^{sum_{i=1}^nc(i)mu(i)}]

其中(c(i))表示(i)的因子个数

于是现在我们要对(sum_{i=1}^nc(i)mu(i))，求和，考虑(Min\_25)筛

假设我们现在已经求出(g(n,|P|)=sum_{i=1}^n c(i)mu(i)[iin prime])

设

[S(n,j)=sum_{i=1}^n c(i)mu(i)[iin prime or min_p(i)geq P_j]]

那么我们就可以递推了

[S(n,j)=S(n,j+1)+(-1) left(S left(leftlfloorfrac{n}{P_j} ight floor,j+1 ight)-sum_{i=1}^{j-1}mu(i) ight)]

等等，按上面这样真的大丈夫？我们是对于(S(n,j))考虑是否有(P_j)这个质因子，如果没有就是加上(S(n,j+1))，如果有的话就是加上后面那个……

似乎不对诶，我让(P_j)乘上去之后，每一个数的因子个数(+1)，那么我们维护的(sum c(i)mu(i))里面(c(i))也要变啊，这不就出问题了么？因为这里(c(i))加了(1)，那么为了让减去的这个值是真的，我们似乎还需要减去(sum mu(i))

为了避免这个问题，我们还需要定义一个

[sum_{i=1}^n mu(i)[iin prime or min_p(i)geq P_j]]

那么这下子就能真·递推了

[g(n,j)=g(n,j+1)+(-1) left(g left(leftlfloorfrac{n}{P_j} ight floor,j+1 ight)-sum_{i=1}^{j-1}mu(i) ight)]

[S(n,j)=S(n,j+1)+(-1) left(S left(leftlfloorfrac{n}{P_j} ight floor,j+1 ight)-sum_{i=1}^{j-1}mu(i) ight)+(-1) left(g left(leftlfloorfrac{n}{P_j} ight floor,j+1 ight)-sum_{i=1}^{j-1}mu(i) ight)]

用(Min\_25)筛带进去递推就行了

右边

要求

[prod_{i=1}^nsigma_0(i)^i]

那么我们考虑枚举质因子，大概是这么个式子

[prod_{p}prod_{k}(k+1)^{g(p,k)}]

就是枚举质数(p)，枚举这个质数的次数(k)，(g(p,k))表示(1)到(n)中有这么多个数满足它们的中(p)的次数为(k)，然后这些数求和

不难发现

[g(p,k)=p^ks(lfloorfrac{n}{p^k} floor)-p^{k+1}s(lfloorfrac{n}{p^{k+1}} floor)]

如果(p<sqrt{n})，直接暴力搞就行了

然而(p>sqrt{n})怎么办呢？

整除分块啊！

然后没有然后了

最后最后：记得取模，记得取模，记得取模！

//minamoto
#include<bits/stdc++.h>
#define R register
#define ll long long
#define dd long double
#define ID(x) ((x)<=sqr?id1[x]:id2[n/(x)])
#define fp(i,a,b) for(R int i=a,I=b+1;i<I;++i)
#define fd(i,a,b) for(R int i=a,I=b-1;i>I;--i)
#define go(u) for(int i=head[u],v=e[i].v;i;i=e[i].nx,v=e[i].v)
using namespace std;
const int N=1e6+5;const ll P=1e12+39,Phi=P-1;
inline ll add1(R ll x,R ll y){return x+y>=P?x+y-P:x+y;}
inline ll dec1(R ll x,R ll y){return x-y<0?x-y+P:x-y;}
inline ll mul1(R ll x,R ll y){ll r=(dd)x*y/P;return x*y-r*P;}
inline ll add2(R ll x,R ll y){return x+y>=Phi?x+y-Phi:x+y;}
inline ll dec2(R ll x,R ll y){return x-y<0?x-y+Phi:x-y;}
inline ll mul2(R ll x,R ll y){ll r=(dd)x*y/Phi;return x*y-r*Phi;}
ll ksm(R ll x,R ll y){
    y=(y%Phi+Phi)%Phi;
    ll res=1;
    for(;y;y>>=1,x=mul1(x,x))if(y&1)res=mul1(res,x);
    return res;
}
ll w[N],g[N],h[N],f[N],sp[N],sum[N];int id1[N],id2[N],p[N];
bitset<N>vis;ll n,ans,res;int m,tot,sqr,lim,id,k;
void init(){
    vis[1]=1;
    fp(i,2,N-1){
        if(!vis[i])p[++tot]=i,sp[tot]=sp[tot-1]+i;
        for(R int j=1;j<=tot&&1ll*i*p[j]<N;++j){
            vis[i*p[j]]=1;
            if(i%p[j]==0)break;
        }
    }lim=tot;
}
void solve(){
    m=0,sqr=sqrt(n),tot=upper_bound(p+1,p+1+lim,sqr)-p-1;
    for(R ll i=1,j;i<=n;i=j+1){
        j=n/(n/i),w[++m]=n/i;
        w[m]<=sqr?id1[w[m]]=m:id2[n/w[m]]=m;
        sum[m]=h[m]=(w[m]&1)?mul2((w[m]+1)>>1,w[m]):mul2(w[m]>>1,w[m]+1),h[m]=dec2(h[m],1);
        g[m]=w[m]-1;
    }
    fp(j,1,tot)for(R int i=1;1ll*p[j]*p[j]<=w[i];++i){
        id=ID(w[i]/p[j]);
        h[i]=dec2(h[i],mul2(p[j],dec2(h[id],sp[j-1])));
        g[i]=dec2(g[i],dec2(g[id],j-1));
    }
    fp(i,1,m)f[i]=g[i]=dec2(0,g[i]);
    fd(j,tot,1)for(R int i=1;1ll*p[j]*p[j]<=w[i];++i){
        id=ID(w[i]/p[j]);
        f[i]=dec2(f[i],add2(add2(g[id],j),add2(f[id],j)));
        g[i]=dec2(g[i],add2(g[id],j));
    }
    ans=ksm(2,f[1]);
    ll i,j;
    for(j=1;j<=tot&&1ll*p[j]*p[j]<=n;++j){
        ll x=p[j],y=1ll*p[j]*p[j];
        for(i=1;x<=n;++i,x=y,y*=p[j]){
            res=dec2(mul2(x,sum[ID(n/x)]),y<=n?mul2(y,sum[ID(n/y)]):0);
            ans=mul1(ans,ksm(i+1,res));
        }
    }
    i=p[j-1]+1,j=n/(n/i);
    for(;i<=j;++i)if(!vis[i])ans=mul1(ans,ksm(2,mul2(i,n/i)));
    for(;i<=n;i=j+1){
        j=n/(n/i);
        res=h[ID(j)],res=dec2(res,h[ID(i-1)]);
        res=mul2(res,sum[ID(n/i)]);
        ans=mul1(ans,ksm(2,res));
    }
    printf("%lld
",ans);
}
int main(){
//  freopen("testdata.in","r",stdin);
    int T;scanf("%d",&T);init();
    while(T--)scanf("%lld",&n),solve();
    return 0;
}