P3272 [SCOI2011]地板（插头DP）

Posted 2021-02-10 lizehon

[题面链接] https://www.luogu.org/problemnew/show/P3272

[题目描述] 有一个矩阵，有些点必须放，有些点不能放，用一些L型的图形放满，求方案数

[题解] (版权所有) https://www.luogu.org/blog/dedicatus545/solution-p3272

第一种情况：当前状态下，当前格子上方和左方都没有插头

这时我们需要找一个L形来把这个格子填上，那么我们可能有三种决策：

　　决策一：给这个格子加一个二号下插头和一个二号右插头，此时这个格子是一个新的L形的拐角

　　决策二：给这个格子加一个一号下插头，此时相当于构建了一个先向下再向右的L形，从当前格子开始

　　决策三：给这个格子加一个一号右插头，此时相当于构建了一个先向右再向下的L形，从当前格子开始

第二种情况：当前状态下，当前格子上方有一个一号下插头，左方没有插头

这时相当于上面有一个L形的未拐弯的一边伸过来了，有两种决策：

　　决策一：L形不拐弯，继续向下延伸，当前格子只有一个一号下插头

　　决策二：L形在当前格子拐弯，L形向右延伸，当前格子只有一个二号右插头

第三种情况：当前状态下，当前格子左方有一个一号右插头，上方没有插头

与第二种情况类似，故不赘述

第四种情况：当前状态下，当前格子上方有一个二号下插头，左方没有插头

这时相当于上面有一个L形的拐过弯的一边伸过来了，有两种决策：

　　决策一：L形继续延伸，当前格子有一个二号下插头

　　决策二：L形在当前格子终止，当前格子没有插头

决策二时注意，如果当前处在最后一个没有障碍的格子，那么需要统计入最终答案

第五种情况：当前状态下，当前格子左方有一个二号右插头，上方没有插头

与第四种情况类似，故不赘述

第六种情况：当前状态下，当前格子左方和上方都有一号插头

此时相当于两条“臂”伸了过来，在当前格子相交，应该合并成一个L形

当前格子相当于一个L形的拐弯处，没有插头

我们发现，情况一和情况六已经覆盖了四种L形的摆放方式，同时也不会有一个二号插头一个一号插头或者两个二号插头的情况出现——它们被上文的六种情况限制了

故这种分类讨论方式可以覆盖所有情况

总结

(1.) 插头定义在扫描线上方，定义处理前插头在左上的上方，处理完当前点后对应的扫描线图形后插头在右下的上方

(2.) 插头DP神题，注意分类讨论，一般分类标准为向右向下延伸，而向左向上的情况则通过在某一个点合并上面和左边传来的