图论基础

Posted 2021-02-10 blogofchc1234567890

2 hdu 4109

求关键路径（最长路）。

解

1. 用最短路算法，把<改成>
2. 拓扑排序

3 zoj 1508

有若干个区间 ([a_i,b_i]) ，现在请找到一个整数集合 (Z) ，使得 (|Z∩[a_i,b_i]|=c_i) 。
差分约束。

解

差分约束建边：
若 (x_1+c≥x_2) ，则连边 (<x_1,x_2>) ，边权为 (c) 。为什么？因为最短路算法中，如果有 (dis[u]+w[i]<dis[v]) ，就要更新 (dis[v]) ，力求让 (dis[v]≥dis[u]+w[i]) 。
然后，设 (s[i]) 表示 (1-i) 中有多少个数这道题的不等式：
(s[i-1]+1≥s[i])
(s[i]+0≥s[i-1])
(s[n]+0≥s[i])
(s[b[i]]+(-c[i])≥s[a[i]-1])

然后spfa跑一遍最短路。

4 hdu 3631

有若干次操作：

• 标记点 (u) ；
• 询问 (u) 到 (v) 的最短路。

(nle 300,mle 100000)

解

每次标记了一个点，就用floyd去 (n^2) 更新。

5 Codeforces 274D

一个 (n*m) 的矩阵，要求每一行的数字都是非递减的，可以交换某些列达到这一要求。输出交换后的序列顺序。

解

拓扑排序完事。

6 Codechef CLIQUED

一个无向图， (k) 个特殊点，两两有一条长度确定的道路连接（不在输入中给出），问点 (S) 到所有点的最短路。

解

新建一个节点 (U) ，对于每个特殊点 (v) ，连有向边 (<v,U,0>) 、 (<U,v,特殊点间的道路长度>) 。
然后正常跑最短路。

7 poj 1275

题意210 题意115

解

先二分雇佣总人数。
设 (s[i]) 为时刻 (0-i) 来工作过的总人数。
(s[i]-s[i-1]≥a[i])
(s[i]-s[i-1]le t[i])
(s[i]-s[i-1]≥0)
(s[i]-s[i-8]≥a[i](ile 8))
(s[i+16]-s[i]≥a[i]-雇佣总人数(i>8))

8 poj 3159

有 (n) 个小孩要分糖果，有 (m) 个要求，每个要求形如第 (i) 个小孩要求第 (j) 个小孩的糖果数不能超过他的糖果数 (+c) 。问所有人糖果数的最大值 (-) 最小值。

解

差分约束。
(a_j-a_ile c)

9 hdu 4635

给你一张简单有向图，问最多加几条边，使得图还是简单的且不强连通。如果图一开始就强连通，输出 (-1) 。

解

枚举每一个强连通分量，一种方案是把这个强连通分量两两节点连上边，其他所有强连通分量缩成一个点，两两节点连上边，这样这张图就只有两个强连通分量了，然后在这两个强连通分量中连很多条单向边。

10 poj 2240

给出 (n) 种货币互相的汇率，问能否通过兑换货币来赚钱。

解

初始化每个节点的点权为1.0，然后if(dis[u]*w[i]<dis[v])dis[v]=dis[u]*w[i];
最后查找有无 (>1) 的环

11 bzoj 2750

问一张图中有多少条最短路经过某条边。

解

先跑 (n) 边dijkstra预处理出所有点对间的最短路，然后在形成的最短路径DAG上跑一遍统计。

12 bzoj 2763

一张无向图，询问(1) 到 (n) 的最短路。可以把最多 (k) 条边的边权改为0。((kle 10))

解

设 (dis[i][j]) 为 (1) 到 (i) 的最短路，使用了 (j) 次把边权更改为0。

13 poj 3463

问 (s) 到 (t) 的最短路和次短路有多少条。次短路长度必须等于最短路长度+1。

解

设 (dis[i][0/1]) 为 (s) 到 (i) 的最/次短路长度， (cnt[i][0/1]) 为 (s) 到 (i) 的最/次短路数量。
dijkstra时转移。

14 zoj 3408

问有多少条以1为起点的最短路经过某条边。膜 (10^{10}) 。

解

dijkstra预处理最短路，然后在形成的最短路径DAG上跑一遍统计。
最后膜的时候用龟速乘。