CodeForces 1109F. Sasha and Algorithm of Silence's Sounds

Posted 2021-02-10 tinywong

题目简述：给定一个$n imes m$的二维矩阵$a[i][j]$，其中$1 leq nm leq 2 imes 10^5$，矩阵元素$1 leq a[i][j] leq nm$且互不相等。一个区间$[l, r]$是【好】的，如果所有在$[l, r]$范围内的元素（在平面上）构成了一棵树。求【好】区间$[l, r](1 leq l leq r leq nm)$的个数。

解：code

建模：

令$G = (V, E)$表示二维矩阵$a[i][j]$对应的无向图，构造如下：

　　1. $ V = { 1, 2, dots, nm }, $

　　2. $ E = { (a[x_1][y_1], a[x_2][y_2]): (x1,y1)-(x2,y2) in { (0, 1), (0, -1), (-1, 0), (1, 0) } }. $

令$G_{l, r} = (V_{l, r}, E_{l, r})$表示$G$中包含节点$[l, r]$的子图，形式上，

　　1. $V_{l, r} = V cap [l, r], $

　　2. $E_{l, r} = E cap [l, r]^2. $

一个区间$[l, r]$是【好】的，如果$G_{l, r}$是一棵树。

对每个$1 leq r leq nm$，令$l_r$表示最小的$l$，使得$G_{l, r}$是无环图。则显然有$l_r leq l_{r+1}$。