浅谈树链剖分
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了浅谈树链剖分相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
※背景
1xxx年，一个月黑风高的夜晚，一位信息学界知名大佬正在修炼。忽然，他浑身金光大盛，搅动风云，天地失色。在那一片璀璨的金光中，有一算法应运而生。众大佬从四面八方看向这里，无不面色凝重。只听轰隆一声，宛若晴天霹雳，灵气翻腾，金光一闪，那神秘的算法不知所踪……
一、简介
以上就是树链剖分的诞生 （是我瞎编的
从它诞生时的天地异象就可以看出，此算法绝对不凡
那么树链剖分是个什么东西呢？
它是一个码量很大的可以实现树上各种操（xia）作（gao）的算法，比如可实现路径上的权值修改，子树的权值修改等
在学习树链剖分之前，必须先学习线段树，建议也掌握倍增求LCA
二、思想与一些概念
树链剖分的核心思想是：
将一棵树拆分成好多条互不相交的链，然后用数据结构（如线段树）去维护这些链
在一棵树中，有以下概念：
重儿子：一个非叶节点的所有儿子中，以这个儿子为根的子树中 节点数最多的子树 的那个儿子 为该节点的重儿子
换一个说法就是：定义size[x]为以x为根的子树的节点数（就是x和它的儿子孙子……的总数）。某节点的重儿子是它所有的儿子中size值最大的那一个
轻儿子：一个非叶节点除去重儿子的其它的儿子为轻儿子
重边：连接一个节点和它的重儿子的边为重边
轻边：不是重边的边为轻边
重链：几条连续的重边连接成一条链为重链
来一棵树
红色为重儿子，蓝色为重边，黑色为轻边。这棵树共有两条重链。
我们还可以发现以下结论：
1.重链的起点（如果不是根）是轻儿子
这也不难理解。如果这个起点是重儿子，那么它与它的父亲之间的边依然是重边，这条重边是重链的一部分，那么它就不是起点了，所以它一定是轻儿子
2.每一个轻儿子（包括根）都有一条以它为起点（为了方便理解，认为轻的叶子结点本身是一条重链）
如此一来，每一个节点都在重链上了，于是我们就可以把树拆成若干条重链，然后用线段树去维护
不过用线段树来维护重链有条件，那就是重链上的点的编号必须是连续的
那么该如何处理呢？
请往下看
三、步骤
（1）第一遍dfs
dfs1需要求出：
每个点的深度dep，每个点的父亲fa，以该点为根的子树的节点数siz（这个在上文提到过），每个点的重儿子son
这个应该没什么好说的，直接上代码：
void dfs1(int x,int f)//初始值x等于根节点
{
dep[x]=dep[f]+1;//深度比它父亲大1
fa[x]=f;//记录父亲
siz[x]=1;//记录以它为根的子树节点个数
int maxson=-1;
for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
{
int t=v[i];
if(t==f) continue;
dfs1(t,x);
siz[x]+=siz[t];
if(siz[t]>maxson)
{
son[x]=t;//更新重儿子
maxson=siz[t];
}
}
}
（2）第二遍dfs
dfs2需要求出：
每个点的新编号id，新编号对应的值nw（可以不需要），每个点所在重链的起点top
上文说过，每条重链上面的节点编号都要是连续的，所以对于每个非叶节点，先遍历重儿子，然后遍历轻儿子
具体请看代码：
void dfs2(int x,int topx)//topx为重链的起点
{
id[x]=++cnt;//新编号（满足重链上的编号是连续的）
nw[id[x]]=w[x];//新编号对应的值（可以不需要，用w[id[x]]代替）
top[x]=topx;//重链的起点
if(!son[x]) return;//叶子结点的情况
dfs2(son[x],topx);//先遍历重儿子（重儿子与当前节点在同一条重链上，所以topx不变）
for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
{
int t=v[i];
if(t==fa[x] || t==son[x]) continue;
dfs2(t,t);//每个轻儿子都有一条以自己为起点的重链
}
}
（3）路径权值修改
步骤如下：
1.若两个节点x,y不在一条重链上，比较dep[top[x]]与dep[top[y]]，选择较大为x（即重链起点较深的一个，原因不难想）
2.top[x]一定在x到y的路径上，而x与top[x]在一条重链上，节点编号连续，所以用线段树处理
3.修改x为fa[top[x]]。重复以上操作，直到x和y在一条重链上
4.此时x与y的路径编号连续，用线段树处理
这个过程与倍增求LCA的思想有点类似
具体请看代码：
void upadd(int x,int y,int num)
{
num%=MOD;//视题目要求而定
while(top[x]!=top[y])//两个节点不在一条重链上
{
if(dep[top[x]]<dep[top[y]])//步骤1，选择重链的起点较深的一个点向上走
swap(x,y);
qadd(1,n,1,id[top[x]],id[x],num);//步骤2，用线段树处理这条重链
x=fa[top[x]];//步骤3，x到了另一条重链上
}
if(dep[x]>dep[y])
swap(x,y);
qadd(1,n,1,id[x],id[y],num);// 步骤4，x和y在一条重链上了，直接用线段树处理
}
路径权值求和同理，只是把线段树的区间修改变为区间查询
int upfind(int x,int y)
{
int ans=0;
while(top[x]!=top[y])
{
if(dep[top[x]]<dep[top[y]])
swap(x,y);
ans=(ans+qfind(1,n,1,id[top[x]],id[x]))%MOD;
x=fa[top[x]];
}
if(dep[x]>dep[y])
swap(x,y);
ans=(ans+qfind(1,n,1,id[x],id[y]))%MOD;
return ans;
}
（4）子树权值修改
任何一颗子树的节点编号也都是连续的，设根为x，则编号为id[x]~id[x]+siz[x]-1，所以直接用线段树处理，简单粗暴
什么？一颗子树节点编号为什么是连续的？
因为处理编号时用的是dfs啊~
代码如下：
void downadd(int x,int num)
{
num%=MOD;//视题目要求而定
qadd(1,n,1,id[x],id[x]+siz[x]-1,num);
}
子树权值查询同理：
int downfind(int x)
{
return qfind(1,n,1,id[x],id[x]+siz[x]-1);
}
下面看一道模板题
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#include<algorithm>
#include<cmath>
#define MAXN 200005
using namespace std;
inline int read()
{
int f=1,x=0;
char ch=getchar();
while(ch<‘0‘ || ch>‘9‘) {if(ch==‘-‘) f=-1; ch=getchar();}
while(ch>=‘0‘ && ch<=‘9‘) {x=x*10+ch-‘0‘; ch=getchar();}
return x*f;
}
int n,m,root,MOD;
int cnt;
int w[MAXN];
int v[MAXN<<1],head[MAXN],nxt[MAXN<<1];
int dep[MAXN],fa[MAXN],son[MAXN],siz[MAXN];
int id[MAXN],nw[MAXN],top[MAXN];
int segtree[MAXN<<2],lazytag[MAXN<<2];
void add(int x,int y)
{
v[++cnt]=y;
nxt[cnt]=head[x];
head[x]=cnt;
}
void build(int l,int r,int num)
{
if(l==r)
{
segtree[num]=nw[l]%MOD;
return ;
}
int mid=(l+r)/2;
build(l,mid,num<<1);
build(mid+1,r,(num<<1)|1);
segtree[num]=(segtree[num<<1]+segtree[(num<<1)|1])%MOD;
}
void vadd(int l,int r,int num,int val)
{
lazytag[num]+=val;
segtree[num]+=((r-l+1)%MOD)*(val%MOD);
lazytag[num]%=MOD;
segtree[num]%=MOD;
}
void lazydown(int l,int r,int num,int mid)
{
if(!lazytag[num]) return ;
vadd(l,mid,num<<1,lazytag[num]);
vadd(mid+1,r,(num<<1)|1,lazytag[num]);
lazytag[num]=0;
}
void qadd(int l,int r,int num,int ll,int rr,int val)
{
if(ll<=l && r<=rr)
{
vadd(l,r,num,val);
return ;
}
int mid=(l+r)/2;
lazydown(l,r,num,mid);
if(ll<=mid)
qadd(l,mid,num<<1,ll,rr,val);
if(mid<rr)
qadd(mid+1,r,(num<<1)|1,ll,rr,val);
segtree[num]=(segtree[num<<1]+segtree[(num<<1)|1])%MOD;
}
int qfind(int l,int r,int num,int ll,int rr)
{
if(ll<=l && r<=rr)
{
return segtree[num]%MOD;
}
int mid=(l+r)/2,ans=0;
lazydown(l,r,num,mid);
if(ll<=mid)
ans+=qfind(l,mid,num<<1,ll,rr);
if(mid<rr)
ans+=qfind(mid+1,r,(num<<1)|1,ll,rr);
return ans%MOD;
}
void dfs1(int x,int f)
{
dep[x]=dep[f]+1;
fa[x]=f;
siz[x]=1;
int maxson=-1;
for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
{
int t=v[i];
if(t==f) continue;
dfs1(t,x);
siz[x]+=siz[t];
if(siz[t]>maxson)
{
son[x]=t;
maxson=siz[t];
}
}
}
void dfs2(int x,int topx)
{
id[x]=++cnt;
nw[id[x]]=w[x];
top[x]=topx;
if(!son[x]) return;
dfs2(son[x],topx);
for(int i=head[x];i;i=nxt[i])
{
int t=v[i];
if(t==fa[x] || t==son[x]) continue;
dfs2(t,t);
}
}
void upadd(int x,int y,int num)
{
num%=MOD;
while(top[x]!=top[y])
{
if(dep[top[x]]<dep[top[y]])
swap(x,y);
qadd(1,n,1,id[top[x]],id[x],num);
x=fa[top[x]];
}
if(dep[x]>dep[y])
swap(x,y);
qadd(1,n,1,id[x],id[y],num);
}
int upfind(int x,int y)
{
int ans=0;
while(top[x]!=top[y])
{
if(dep[top[x]]<dep[top[y]])
swap(x,y);
ans=(ans+qfind(1,n,1,id[top[x]],id[x]))%MOD;
x=fa[top[x]];
}
if(dep[x]>dep[y])
swap(x,y);
ans=(ans+qfind(1,n,1,id[x],id[y]))%MOD;
return ans;
}
void downadd(int x,int num)
{
num%=MOD;
qadd(1,n,1,id[x],id[x]+siz[x]-1,num);
}
int downfind(int x)
{
return qfind(1,n,1,id[x],id[x]+siz[x]-1);
}
int main()
{
int i;
int h,a,b,c;
n=read(); m=read(); root=read(); MOD=read();
for(i=1;i<=n;i++) w[i]=read();
for(i=1;i<n;i++)
{
a=read();
b=read();
add(a,b);
add(b,a);
}
dfs1(root,0);
cnt=0;
dfs2(root,root);
build(1,n,1);
for(i=1;i<=m;i++)
{
h=read();
if(h==1)
{
a=read(); b=read(); c=read();
upadd(a,b,c);
}
if(h==2)
{
a=read(); b=read();
printf("%d
",upfind(a,b));
}
if(h==3)
{
a=read(); b=read();
downadd(a,b);
}
if(h==4)
{
a=read();
printf("%d
",downfind(a));
}
}
return 0;
}
最后，提醒您：
树剖千万行，认真第一行
代码不规范，测评两行WA
以上是关于浅谈树链剖分的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章