AT2070 Card Game for Three(组合数学)

Posted 2021-02-09 sdfzsyq

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解题思路

　　前面的思路还是很好想的，就是要枚举最后一个(a)在哪出现算贡献，之后我先想的容斥，结果彻底偏了。。后来调了很久发现自己傻逼了，似乎不能容斥，终于走上正轨23333。首先可以写出一个(O(n^2))的玩意，就是
[ans=sumlimits_{i=n}^{sum}C(n-1,i-1)*3^{sum-i}*sumlimits_{j=max(0,i-n-m)}^{min(k,i-n)}C(i-n,j)]
　　这个式子就是枚举(a)的最后一个位置(i)，然后从前面的(n-1)里选(i-1)个(a)，再从剩下的里面选出(j)个(c)，而(j)还要满足不能使(b)超过(m)，不能使(c)超过(k)，最后后面剩下的位置随意放。这样是(O(n^2))的，优化也很简单，就是发现后面的一坨对应杨辉三角同行连续一段，然后每次(i+1)时转移到下一行连续一段，这个随便讨论一下即可。

代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cmath>
#include<algorithm>

using namespace std;
typedef long long LL;
const int N=1000005;
const int MOD=1e9+7;

int n,m,k,ans,fac[N],inv[N],sum;

inline int fast_pow(int x,int y){
    int ret=1;
    for(;y;y>>=1){
        if(y&1) ret=1ll*ret*x%MOD;
        x=1ll*x*x%MOD;
    }
    return ret;
}

inline int C(int x,int y){
    return 1ll*fac[x]*inv[y]%MOD*inv[x-y]%MOD;  
}

signed main(){
    scanf("%d%d%d",&n,&m,&k);
    fac[0]=inv[0]=1; sum=n+m+k;
    for(int i=1;i<=sum;i++) fac[i]=1ll*fac[i-1]*i%MOD;
    inv[sum]=fast_pow(fac[sum],MOD-2);
    for(int i=sum-1;i;i--) inv[i]=1ll*inv[i+1]*(i+1)%MOD;
//  for(int i=n;i<=sum;i++){
//      int now=0;
//      for(int j=max(i-n-m,1ll*0);j<=min(k,i-n);j++)
//          (now+=C(i-n,j))%=MOD;
//      ans+=now%MOD*C(i-1,n-1)%MOD*fast_pow(3,sum-i)%MOD;
//      ans%=MOD;
//  }
//  cout<<ans<<endl; ans=0;
    if(m<k) swap(m,k); int now=1;
    for(int i=n;i<=sum;i++){
        if(k+n>=i) {
            (ans+=1ll*C(i-1,n-1)*fast_pow(3,sum-i)%MOD*now%MOD)%=MOD;
            if(k+n!=i) now=now*2%MOD;   
        }
        else if(n+m>=i) {
            now=now*2-C(i-n-1,k);
            now=(now%MOD+MOD)%MOD;
            (ans+=1ll*now*C(i-1,n-1)%MOD*fast_pow(3,sum-i)%MOD)%=MOD;
        }
        else {
            now=now*2-C(i-n-1,k); now=(now%MOD+MOD)%MOD;
            now=(now-C(i-n-1,i-n-m-1)+MOD)%MOD;
            (ans+=1ll*now*C(i-1,n-1)%MOD*fast_pow(3,sum-i)%MOD)%=MOD;
        }
    }
//  for(int i=n;i<=sum;i++) {
//      (ans+=1ll*C(i-1,n-1)*fast_pow(2,i-n)%MOD*fast_pow(3,sum-i)%MOD)%=MOD;
//      if(i==8) cout<<ans<<endl;
//      if(n+k+1<=i) 
//          (ans-=1ll*C(i-1,n-1)*C(i-n,k+1)%MOD*fast_pow(2,i-n-k-1)%MOD*fast_pow(3,sum-i)%MOD)%=MOD;
//      if(i==8) cout<<ans<<endl;
//      if(n+m+1<=i)
//          (ans-=1ll*C(i-1,n-1)*C(i-n,m+1)%MOD*fast_pow(2,i-n-m-1)%MOD*fast_pow(3,sum-i)%MOD)%=MOD;
//      cout<<ans<<endl;
//  }
//  for(int i=n+m;i<sum;i++){
//      (ans-=1ll*now*fast_pow(3,sum-n-m)%MOD)%=MOD;
//      now=1ll*now*i%MOD; now=(now+C(n+m,i-n-m+1))%MOD;    
//  }
//  now=1;
//  for(int i=n+k;i<sum;i++){
//      (ans-=1ll*now*fast_pow(3,sum-n-k)%MOD)%=MOD;
//      now=1ll*now*i%MOD; now=(now+C(n+k,i-n-k+1))%MOD;
//  }   
    printf("%d
",(ans+MOD)%MOD);
    return 0;
}