欧拉函数-Product
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了欧拉函数-Product相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
先吐槽一波:凉心出题人又卡时间又卡空间
先来化简一波柿子
[prod_{i=1}^{n}prod_{j=1}^{n}frac{lcm(i,j)}{gcd(i,j)}]
[=prod_{i=1}^{n}prod_{j=1}^{n}frac{i*j}{gcd(i,j)^2}]
[=(prod_{i=1}^{n}prod_{j=1}^{n}i*j)*(prod_{i=1}^{n}prod_{j=1}^{n}gcd(i,j))^{-2}]
先看前面的那一坨:
[prod_{i=1}^{n}prod_{j=1}^{n}i*j]
$(=prod_{i=1}^{n}(i^n*n!))(不理解可以把上述式子打开,就可以发现了)
[=(n!)^{n}*prod_{i=1}^{n}i^n]
[=(n!)^n*(n!)^n]
[=(n!)^{2n}]
然后我们来看后面那一坨(先不看-2次方):
[prod_{i=1}^{n}prod_{j=1}^{n}gcd(i,j)]
[=prod_{d=1}^{n}prod_{i=1}^{n}prod_{j=1}^{n}[gcd(i,j)==d]]
[=prod_{d=1}^{n}d^{sum_{i=1}^{n}sum_{j=1}^{n}[gcd(i,j)==d]}]
[=prod_{d=1}^{n}d^{sum_{i=1}^{frac{n}{d}}sum_{j=1}^{frac{n}{d}}[gcd(i,j)==1]}]
先只看指数:
[sum_{i=1}^{frac{n}{d}}sum_{j=1}^{frac{n}{d}}[gcd(i,j)==1]]
这不就是仪仗队吗?
所以我们只要求出啦欧拉函数前缀和,就可以用欧拉函数(O(1))算出指数了~
所以我们把柿子综合一下:
令[sum[x]=sum_{i=1}^xphi(i)]
原式化为:[(n!)^{2n}*(Pi_{d=1}^{n}d^{2*sum[frac{n}{d}]-1})^{-2}]
然后我们就可以(O(nlogn))求出答案了
最后注意一下,因为欧拉函数前缀和会爆int,所以要用longlong,但是这样就会MLE,所以我们要考虑优化
根据欧拉定理,因为模数为质数,所以(phi(mod)=mod-1),所以原式我们可以进一步化为:
[(n!)^{2n}*(prod_{d=1}^{n}d^{(2*sum[frac{n}{d}]-1)\%(mod-1)})^{-2}]
这样就可以不需要longlong了
下面给出代码:
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define il inline
#define re register
#define debug printf("Now is Line : %d
",__LINE__)
#define file(a) freopen(#a".in","r",stdin);freopen(#a".out","w",stdout)
#define ll long long
#define mod 104857601
il int read()
{
re int x=0,f=1;re char c=getchar();
while(c<'0'||c>'9') {if(c=='-') f=-1;c=getchar();}
while(c>='0'&&c<='9') x=x*10+c-48,c=getchar();
return x*f;
}
#define maxn 1000000+5
int n,cnt,ans1=1,prim[80000],ans2=1,pai[maxn];
bool vis[maxn];
il int qpow(int a,ll b)
{
int r=1;
while(b)
{
if(b&1ll) r=1ll*r*a%mod;
b>>=1ll;
a=1ll*a*a%mod;
}
return r;
}
int main()
{
n=read();
pai[1]=1;
for(re int i=2;i<=n;++i)
{
ans1=1ll*ans1*i%mod;
if(!vis[i]) prim[++cnt]=i,pai[i]=i-1;
for(re int j=1;j<=cnt;++j)
{
if(prim[j]*i>n) break;
vis[prim[j]*i]=1;
if(i%prim[j]==0) {pai[i*prim[j]]=pai[i]*prim[j];break;}
pai[i*prim[j]]=pai[prim[j]]*pai[i];
}
}
for(re int i=1;i<=n;++i) pai[i]=pai[i]*2+pai[i-1]%(mod-1);
ans1=qpow(ans1,2*n);
for(re int i=2;i<=n;++i) ans2=1ll*ans2*qpow(i,pai[n/i]-1)%mod;
printf("%d",(1ll*ans1*qpow(1ll*ans2*ans2%mod,mod-2))%mod);
return 0;
}
以上是关于欧拉函数-Product的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
R语言学习——欧拉计划(11)Largest product in a grid
E. Product Oriented Recurrence(矩阵快速幂+欧拉降幂)
Product Oriented Recurrence(Codeforces Round #566 (Div. 2)E+矩阵快速幂+欧拉降幂)