P2257 YY的GCD （莫比乌斯反演）

Posted 2021-02-09 lizehon

[题目链接] https://www.luogu.org/problemnew/show/P2257

// luogu-judger-enable-o2
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[题解]
https://www.luogu.org/blog/peng-ym/solution-p2257
[莫比乌斯反演]
http://www.cnblogs.com/peng-ym/p/8647856.html
[整除分块]
http://www.cnblogs.com/peng-ym/p/8661118.html
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前置:莫比乌斯函数μ(x)为一次质因子的个数,其中μ(1)=1
化简式子中有几个地方很巧妙
1.设f(n)为gcd(i,j)=n的方案数,F(n)=∑{n|d}(f(d))=(N/n)*(M/n)
2.更换枚举项:由枚举 p 到枚举 (d/p) ,总之枚举 μ ,方便算前缀和
3.由枚举 dp 到枚举 T, 根据 μ(d) 有关计算从所有 d 的 p 倍的式子, 转化为根据 μ(T/t) 计算所有有关 T 的式子. 
4.程序实现时运用整除分块,即变量在[l,r]内代入式子算得结果一样
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written by pengym.
-----------------------2019.2.11
*/
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long LL;
const int INF=1e9+7;
inline LL read(){
    register LL x=0,f=1;register char c=getchar();
    while(c<48||c>57){if(c==‘-‘)f=-1;c=getchar();}
    while(c>=48&&c<=57)x=(x<<3)+(x<<1)+(c&15),c=getchar();
    return f*x;
}

const int MAXN=1e7+5;

int mu[MAXN],prime[MAXN],g[MAXN];
bool vis[MAXN];
LL sum[MAXN],ans;
int n,m,Pcnt,T;

inline void init(int n){
    mu[1]=1;
    for(int i=2;i<=n;i++){
        if(!vis[i]){
            prime[++Pcnt]=i;
            mu[i]=-1;
        }
        for(int j=1;j<=Pcnt&&prime[j]*i<=n;j++){
            vis[i*prime[j]]=true;
            if(i%prime[j]==0) break;
            else mu[prime[j]*i]=-mu[i];
        }
    }
    prime[0]=1;
    for(int j=1;j<=Pcnt;j++)
        for(int i=0;i*prime[j]<=n;i++)
            g[i*prime[j]]+=mu[i];//对∑(μ)的计算
    for(int i=1;i<=n;i++)
        sum[i]=sum[i-1]+g[i];//前缀和
}

int main(){
    init(1e7);
    T=read();
    while(T--){
        n=read(),m=read();ans=0;
        if(n>m) swap(n,m);
        for(int l=1,r;l<=n;l=r+1){
            r=min(n/(n/l),m/(m/l));//变量在[l,r]内代入式子算得结果一样
            ans+=(LL)(n/l)*(m/l)*(sum[r]-sum[l-1]);
            //记得加(LL)!!!
        }
        printf("%lld
",ans);
    }
}