Yahoo Programming Contest 2019.E.Odd Subrectangles(思路 线性基)

Posted 2021-02-09 sovietpower

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(Description)

给定一个(n imes m)的(01)矩阵。求任意选出(r)行、(c)列（共(2^{n+m})种方案），使得这(r)行(c)列的交的位置的(r imes c)个数的和为奇数，的方案数有多少。
（...我也不知道怎么就表述成这样了，反正挺好理解）
(n,mleq300)。

(Solution)

假设已经确定了选择某些行，然后把每一行(m)个数看做一个(m)位二进制数。
如果这些行异或和为(0)，那怎么选列也不行。
否则每一列异或这些行是(0)还是(1)是确定的。假设有(a)列异或后为(1)，(b)列异或后为(0)，(a+b=m)。我们要从(a)中选出奇数个，从(b)中随便选，那么方案数是(2^{a-1}cdot2^b=2^{m-1})（从(n)中选出奇数个数的方案数。。(C_n^1+C_n^3+C_n^5+...=frac{2^n}{2}=2^{n-1})）。
也就是不管行怎么选，只要异或和不为(0)，列就有(2^{m-1})种方案。
异或和不为(0)的方案数=(2^n-)异或和为(0)的方案数。异或和为(0)的方案数可以用线性基求，是(2^{n-r})（(n)是元素总数，(r)是矩阵的秩，也就是线性基中的元素个数），所以答案就是((2^n-2^{n-r})cdot2^{m-1})。
这里线性基插入还是一样的，把一行看做(m)位数就好了。

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