0/1背包

Posted 2021-02-09 wmj6

0/1背包的问题模型如下：

　　给定N个物品，其中第i个物品的体积为V_i ，价值为W_i 。有一容积为M的背包，要选择一些物品放入背包，使物品体积不超过M的前提下，物品的价值总和最大。

dp[i][j]表示从前i个物品中选出了总体积为j的物品放入背包，物品的最大价值。即我们很容易得出解决的代码：

memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[0][0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++)
            dp[i][j]=dp[i-1][j];
        for(int j=v[i];j<=m;j++)
            dp[i][j]=max(dp[i][j],dp[i-1][j-v[i]]+w[i]);
    }

根据上面的代码 我们可以看出 状态方程的推导只和当前状态以及上一状态有关。所以我们可以用滚动数组优化

memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[0][0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=0;j<=m;j++)
            dp[i&1][j]=dp[(i-1)&1][j];
        for(int j=v[i];j<=m;j++)
            dp[i&1][j]=max(dp[i&1][j],dp[(i-1)&1][j-v[i]]+w[i]);
    }

这里我们只要2*m的空间即可

其实进一步分析代码，在每个阶段的开始，我们实际上只是执行了一次从dp[i-1][]到dp[i][]的一次拷贝，也就是说我们可以进一步省略掉dp数组的第一维

即dp[j]表示背包中放入总体积为j的最大价值

memset(dp,0,sizeof(dp));
    dp[0]=0;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=m;j>=v[i];j--)
            dp[j]=max(dp[j],dp[j-v[i]]+w[i]);
    }

我们应该可以注意到，我们的第二重循环采用了倒序的方式，这是为了满足0/1背包问题中每个物品是唯一的，只能放入一次的要求