数字方阵2 题解 回溯算法.md

Posted 2021-02-09 1024th

http://218.5.5.242:9018/JudgeOnline/problem.php?id=1263

题目描述

在N*N的棋盘上（1＜N≤10）填入1,2,...N*N共N*N个数,使得任意两个相邻的数之和为素数.例如,当N=2时,有 ：

1	2
4	3

其相邻数的和为素数的有:1+2,1+4,4+3,2+3。

当N=4时,一种可以填写的方案如下:

1	2	11	12
16	15	8	5
13	4	9	14
6	7	10	3

在这里我们约定:左上角的格子里必须放数字1。

输入

一个正整数N。

输出

若有多种解,则需输出第一行之和最小，若第一行和相同，则输出第一列之和最小的排列方案;若无解,则输出"No solution"。若有解，第一行为空格分割的两个正整数，分别是该排列方案的第一行、第一列各数字之和。以下n行输出该排列方案，每个数字占4个字符，不足4位的在数字前用空格补齐。

样例输入

2

样例输出

3 5
   1   2
   4   3

算法分析

这题和洛谷上的不！一！样！！

P1549 棋盘问题（2）(https://www.luogu.org/problemnew/show/P1549)

输出格式：

如有多种解，则输出第一行、第一列之和为最小的排列方案；若无解，则输出“NO”。

洛谷上这题要求是：“如有多种解，则输出第一行、第一列之和为最小的排列方案”，只要搜到第一个解直接输出结束。但是这题不行，这题只能把所有解都搜过去。。。

要是爆搜肯定超时。。但是n小呀，于是开始了疯狂的预处理+剪枝。。。

因为要求输出第一行之和最小的排列方案，若第一行和相同，则输出第一列之和最小的排列方案。所以可以尝试先搜索第1行，接着再搜索第1列，最后再搜索中间那块。

初始化：

• 读入n，筛出2…2*n*n之间的所有素数表prime[i]，用于表示i是否为素数。（线性筛，FindPrime()）
• 对于每一个数i，找出2...2*n*n之内的所有能使i+j为素数的j，并储存起来。（predeal()）

搜索第1行（workhang(int dx)）：在搜索时可能判断当前已经搜索过的格子中数字之和hang是否大于先前答案中第一行的和ansh,如果是可不用继续搜索，这就是搜索剪枝。

搜索第1列（worklie(int dy)），同样，搜索列也可剪枝。

搜索中间部分（workmid(int dx,int dy)）：只要已经出现过一个解，就不继续搜索，也可剪枝。而且竖着搜比横着搜快。（没有为什么。。数据就是这样。。。）

下面贴代码：

  1 #include <iostream>
  2 #include <cstdio>
  3 #include <cmath>
  4 #include <cstring>
  5 #define reg register
  6 using namespace std;
  7 int n,N;//N=n*n，即最大的数，方便以后遍历所有数(也省时间) 
  8 int map[11][11];//储存方阵 
  9 bool prime[20000], v[200];//prime[i]表示i是否为素数，v[i]表示i是否用过(用于搜索) 
 10 
 11 int pprime[20000];//用于筛素数 
 12 inline void FindPrime() { //筛素数，这里用的是线性筛，不懂可以去百度 
 13     int k=0, ls=2*N+5;
 14     memset(prime, 1, sizeof(prime));
 15     prime[1]=false;
 16     for (reg int i=1; i<=ls; ++i) {
 17         if (prime[i]) pprime[++k]=i;
 18         for (reg int j=1; j<=k; ++j) {
 19             prime[i*pprime[j]]=false;
 20             if (i%pprime[j]==0) break;
 21         }
 22     }
 23 }
 24 int pre[101][101];//存放预处理结果 
 25 inline void predeal(){//预处理 
 26     int k=2; //k:储存方案数 
 27     for(reg int i=1;i<=N;++i){
 28         k=2;
 29         for(reg int j=((i&1)?2:3);j<=N;j+=2){
 30             if(prime[j+i])
 31                 pre[i][k++]=j;//将使i+j为素数的所有可能的j存入pre[i][2...k]; 
 32         }
 33         pre[i][1]=k-2;//pre[i][1]存放方案数(j有几种可能)，用于之后的遍历
 34     }
 35 }
 36 int hang=1,lie=1;//hang:当前第一行所有数之和  lie:当前第一列所有数之和 
 37 int ansh = 1000, ansl = 1000,count=0;
 38 //ansh ansl:储存最优解(最小的hang lie)；count:方案数(判断是否No solution)
 39 int ansmap[11][11];//储存答案方阵 
 40 inline void print() {//简单的输出结果的函数 
 41     printf("%d %d
", ansh, ansl);
 42     for (reg int i=1; i<=n; i++) {
 43         for (reg int j=1; j<=n; j++)
 44             printf("%4d", ansmap[i][j]);
 45         printf("
");
 46     }
 47 }
 48 inline void update() {//更新结果(判断当前结果是否比上一个结果更优)
 49     ansh = hang; ansl = lie;
 50     memcpy(ansmap, map, sizeof(map));
 51     count++;
 52 }
 53 bool found;//因为当第一行与第一列已经确定了时，中间这块对答案无影响，只要搜索出一个结果即可，用于剪枝 
 54 inline void workmid(int dx, int dy) {
 55     if(found)return;//只要中间这块已经被搜索出来了，即可停止 
 56     if((map[dx-1][dy]&1)^(map[dx][dy-1]&1))
 57     //若上面的数与左边的数一奇一偶，肯定不符合(i+left和i+up中必定有一个为偶数，非素数) 
 58         return;
 59     int left=map[dx-1][dy];//储存上面一格的数 
 60     for (reg int k = 2; k <= pre[left][1]+1; ++k) {
 61         int i=pre[left][k];//遍历使left+i为素数的所有i，后面写法与此相同 
 62         if (prime[i+map[dx][dy-1]] && !v[i]) {
 63             map[dx][dy]=i, v[i]=1;
 64             if (dx<n && dy<=n)workmid(dx+1, dy), v[i]=0;//往下搜一个 
 65             else if (dx==n && dy<n) workmid(2, dy+1), v[i]=0;//这一列搜完了，跳到下一列 
 66             else if (dx==n && dy==n) update(), v[i]=0, found=1;//中间都搜完了，更新结果，标记found 
 67         }
 68     }
 69 }
 70 inline void worklie(int dy) {//搜索列 
 71     int up=map[dy-1][1];
 72     for (reg int k=2; k<=pre[up][1]+1; ++k) {
 73         int i=pre[up][k];
 74         if (!v[i] && (hang<ansh||(hang==ansh&&(lie+i)<ansl))){
 75             map[dy][1]=i, v[i]=1, lie+=i;
 76             if (dy==n)workmid(2, 2), v[i]=0, lie-=i, found=0;
 77             else worklie(dy+1), v[i]=0, lie-=i;
 78         }
 79     }
 80 }
 81 inline void workhang(int dx) {//搜索行 
 82     int left=map[1][dx-1];
 83     for (reg int k=2; k<=pre[left][1]+1; ++k) {
 84         int i=pre[left][k];
 85         if (!v[i] && (hang+i)<=ansh){
 86             map[1][dx]=i, v[i]=1, hang+=i;
 87             if (dx==n) worklie(2), v[i]=0, hang-=i;
 88             else workhang(dx+1), v[i]=0, hang-=i;
 89         }
 90     }
 91 }
 92 int main() {
 93     cin>>n; N=n*n;
 94     FindPrime();
 95     predeal();
 96     map[1][1] = 1;
 97     workhang(2);
 98     if(count>0)print(); else printf("No solution");
 99     return 0;
100 }