尝试理解神经网络中的激活函数

Posted 2021-02-08 pylblog

激活函数引用：https://www.cnblogs.com/ms-uap/p/9962978.html

首先，单个神经元是长这样的：

 

也就是，当A=σ(Z)=Z时，不使用激活函数的话，那么，单个神经网络，输出只能是A = ΣWX + b

1. 从训练数据来理解。（参考：https://blog.csdn.net/weixin_38275649/article/details/80340538）

假如我们的神经网络，仅仅是一个单细胞的神经元

联想我们的样本，例如在做图片识别的时候，通常来说，训练数据：

x1，x2，x3，是某动物的概率。（例如：有毛发：1，有獠牙：1，毛色R：255，毛色G：109，毛色B：100，是豹子的概率：0.75）

显然，如果拿A=σ(Z) = sigmoid(Z) = 0.75，看起来就很合适了（当然，强行的Z=0.75好像也没什么问题，且看第2点）

2. 从非线性组合的角度来理解。（参考：https://zhuanlan.zhihu.com/p/27661298）

在测绘中，通常我们拟合曲面的时候，有如下样本数据：

x,y,z

目标是，知道范围内的x,y，获得z。

先说一下通常的做法（我认为这是建模与神经网络训练十分重要的区别）：

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首先，我们假定它有一个模型：Z = w0 +  w1 * x + w2 * y + w3 * x * y + w4 * x² + w5 * y² + w6 * x ²* y + w7 * y² * x +  w8 * x³ + w9* y³ + ……（一般就w0~w9到此为止了）

假定，(w0~w9)，其初始值为(w‘0~w‘9)，也就是：（0.1,……0.1）

假如我们使用高斯牛顿迭代法来求解，我们不直接解w0~w9，令wi = w‘i +dwi，我们要解的是dwi ，也就是初始值的改正值：

原函数变为：Z = (w‘0 + dw0) +  (w‘1+dw1) * x + (w‘2 + dw2) * y + (w‘3 + dw3 ) * x * y + ……；

也就是：Z = Z ‘  +    dw0 +  dw1 * x + dw2 * y + w3 * x * y  + ……；

也就是：AW = （Z - Z‘）= b

W = [dw0,……dw9]^T

而A的每一行，根据各个样本，有An = [1，x，y，xy，x²，y² ……]

解AW=b

根据最小二乘原理，解AW=b。

A^TAW=A^Tb

W = (A^TA)^-1A^Tb，解得W = [dw0,……dw9]^T

将解的结果，代回w‘‘i = w‘i +dwi , (w‘‘0~w‘‘9)作为新的初始值，继续迭代解

直到：上次迭代的(Z - Z‘)² 和本次迭代的 (Z - Z‘)²  相差无几。

***如有需要以离区域中心加权，可以引入权矩阵：  W = (A^TPA)^-1A^TPb，P通常是对角阵，意思是Z与Z之间高程是独立观测量，也就是说Zi ≠ f(Zj)。

***P对角上的数值可以为 di / ∑ d，d是离中心的距离 ； 在测绘上，可以表示为 1 / （Z测量误差）²

***权值，代表我们对这个样本的关注程度，样本误差越小，权值越大。

在曲面不太复杂，且有一定的规律的时候，这种方法通常效果很理想。因为其考虑了XY之间的非线性因素。

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如果以“单细胞神元” ， 且激活函数A=σ(Z)=Z时，我们顶多可以 Z = WX + b ,  W = [w1,w2] , X = [x,y]^T

这样完全只是一个空间平面而已。（w1*  x  +  w2* y  - z  + b =  0）

进而，我们考虑：

A=σ(Z) =  sigmoid(Z)  ，参考https://zhuanlan.zhihu.com/p/27661298

sigmoid 泰勒展开部分，可以解决函数仅仅为线性函数的问题。但是：

sigmoid函数的值，只能是0~1之间，显然，我们要的Z值，肯定不是这样的（Z是根据地形，数值可能是2.xxx ，3.xxxx各种）

那么，能解决这个问题，只能是多层神经网络：https://www.cnblogs.com/ms-uap/p/10031484.html

 

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