Codeforcs 1114D Flood Fill (区间DP or 最长公共子序列)

Posted 2021-02-08 pkgunboat

题意：给你n个颜色块，颜色相同并且相邻的颜色块是互相连通的（连通块)。你可以改变其中的某个颜色块的颜色，不过每次改变会把它所在的连通块的颜色也改变，问最少需要多少次操作，使得n个颜色块的颜色相同。

例如：[1, 2, 2, 3, 2]需要2步：[1, 2, 2, 3, 2] -> [1, 2, 2, 2, 2] -> [2, 2, 2, 2, 2]。

思路：我们先把颜色块压缩（即把本来颜色相同并且相邻的颜色块合并）。容易发现，如果出现了形如[1, 2, 3, 1]这种情况, 那么显然先合并两个1中间的部分，再把中间部分变成1操作次数会更少，于是我们就可以得到2种思路：

法1：区间DP：设dp[l][r]是合并[l, r]之间的颜色块的最小的代价，那么分两种情况：

1: l - 1和r + 1颜色相同，dp[l - 1][r + 1] = min(dp[l - 1][r + 1], dp[l][r] + 1);//l - 1和r + 1颜色相同，一步就可以转移到

2: l - 1和r + 1颜色不同，dp[l - 1][r] = min(dp[l - 1][r], dp[l][r] + 1);dp[l][r + 1] = min(dp[l][r + 1], dp[l][r] + 1);//l - 1和r + 1颜色不同，那只能一步转移到l - 1, r或者l, r + 1

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 5010;
int dp[maxn][maxn];
int a[maxn], b[maxn], tot;
int main() {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d", &a[i]);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if(a[i] == a[i + 1]) continue;
		b[++tot] = a[i];
	}
	memset(dp, 0x3f, sizeof(dp));
	for (int i = 1; i <= tot; i++) dp[i][i] = 0;
	for (int len = 1; len <= tot; len++) {
		for (int l = 1; l <= tot - len + 1; l++) {
			int r = l + len - 1;
			if(b[l - 1] == b[r + 1]) {
				dp[l - 1][r + 1] = min(dp[l - 1][r + 1], dp[l][r] + 1);
			}
			else {
				dp[l - 1][r] = min(dp[l - 1][r], dp[l][r] + 1);
				dp[l][r + 1] = min(dp[l][r + 1], dp[l][r] + 1);
			}	
		}
	}
	printf("%d
", dp[1][tot]);
} 

法2：假设n个颜色块的颜色都各不相同，那么合并需要n - 1次。如果出现了[1, 2, 3, 1]这种情况，那么合并次数可以少一次。如果是[4, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1]这种情况，那么先合并3到3之间，再合并2到2之间，再合并1到1之间比先合并4到4之间更优。如果我们把压缩序列上相同并且相距最近的两个数看成区间，每出现一个区间答案会减一，所以答案是n - 1 - 不相交的最多的区间的数目（区间在端点相交不算相交,包含关系不算相交）。比如[4, 1, 2, 3, 4, 3, 2, 1]这种情况,有4个区间。4：[1, 5] , 1: [2, 8], 2: [3, 7], 3: [4, 6]。显然，保留 [2, 8],  [3, 7],  [4, 6]三个区间最优，答案是8 - 1 - 3 = 4。那么怎么求不相交的最多的区间的数目呢？这个区间数目是压缩序列和反向压缩序列的的LCS / 2。例如[1, 2, 3, 1]和[1, 3, 2, 1]的LCS是3，区间个数是1。为什么呢？求lCS的过程中，我们每匹配成功一次，相当于区间的左端点找到的一个可以匹配的区间的右端点，或者是一个右端点找到一个对应的左端点，而匹配过程中是一个从前往后, 一个从后往前，所以匹配成功的区间肯定不相交。这个过程之后，每个区间被算了2次，并且会匹配出一个左端点等于右端点的区间，所以要除以2。

代码：

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int maxn = 5010;
int dp[maxn][maxn];
int a[maxn], b[maxn], c[maxn], tot;
int main () {
	int n;
	scanf("%d", &n);
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		scanf("%d", &a[i]);
	}
	for (int i = 1; i <= n; i++) {
		if(a[i] == a[i + 1]) continue;
		b[++tot] = a[i];
		c[tot] = a[i];
	}
	reverse(c + 1, c + 1 + tot);
	for (int i = 1; i <= tot; i++)
		for (int j = 1; j <= tot; j++) {
			if(b[i] == c[j])
				dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
			else
				dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
		}
	printf("%d
", tot - 1 - dp[tot][tot] / 2);
}