高数上第一章知识点总结

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了高数上第一章知识点总结相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

第一章 函数与极限

1.1 函数及其性质

1.1.1 集合

集合:具有某种特定性质事物的全体称为集合。

元素:组成这个集合的事物称为该集合的元素。

集合与元素的关系:属于∈,不属于?。

集合的表示方法:枚举法,描述法。

1.1.2 集合的运算

基本运算:并、交、差。

全集\基本集:研究的问题所限定的大集合。

余集\补集:I - A或者A

运算规律:交换律、结合律、分配律、对偶律、幂等律、吸收律。

1.1.3 区间与领域

有限区间:开区间(a,b) 闭区间[a,b] 半开区间[a,b) (a,b]。b-a:区间长度

无限区间:开区间(a,+∞) (-∞,a) -∞,+∞) 半开区间[a,+∞) (-∞,a]

邻域:以点x0为中心的任何开区间称为点x0的邻域,记作U(x0)。若δ是某一正数,则开区间(x0-δ,x0+δ)是点x0的一个邻域,记作U(x0,δ)。

去心邻域:将点x0去掉后的x0的邻域,记作U(x0,δ)。

左邻域:(x0-δ,x0)

右邻域:(x0,x0+δ)

1.1.4 映射

X,Y是两个非空集合,存在一个法则f,使得对X中的每个元素x,按法则f在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为X到Y的一个映射。

定义域D(f),值域R(f)或f(X)。

满射:R(f) = Y 单射:f(x1) ≠ f(x2) 一一映射:满射+单射

泛函、变换、函数

逆映射:g:R(f) -> X (f是单射,y = f(x),则 x = g(y))

复合映射:g:X->Y1,f:Y2->Z,Y1包含于Y2, f g:X->Z。

1.1.5 函数

D是实数集,称f:D->R为定义在D上的函数。y = f(x),x∈D。y是因变量,x是自变量,D称为定义域。

1.1.6 函数的特性

(1)函数的有界性

X包含于D,若存在M使得f(x) <= M,则称f(x)在X上有上界,类似可得下界的定义。数M使得|f(x)| <= M(x∈X),则称f(x)在X上有界。

(2)函数的单调性

区间I包含于D,若对于I上的任意两点x1,x2,当x1 <x2时,恒有f(x1) < f(x2),则称f(x)在区间I上单调递增;若恒有f(x1) > f(x2),则称f(x)在I上单调递减。

(3)函数的奇偶性

定义域D关于原点对称,即若x∈D,则-x∈D。

若对任意的x∈D,都有f(x) = -f(-x),则称为奇函数;若对任意的x∈D,都有f(x) = f(-x),则称为偶函数。

(4)函数的周期性

定义域D,若存在一个整数T,使得对任意x∈D,有(x+-T)∈D,且恒成立,则称f(x)为周期函数。

1.1.7 反函数和复合函数

函数f:D->f(D)是单射,存在逆映射f-1:f(D)->D,称此映射为函数f的反函数。

若f是单调函数,则必存在反函数,且反函数也是单调函数。

y=f(u),D(f),R(f) u=g(x) D(g),R(g) R(g)包含于D(f),复合映射确定的函数为复合函数。

1.1.8 函数的四则运算

1.1.9 初等函数

幂函数、质数函数、对数函数、三角函数、反三角函数、双曲正弦、双曲余弦、双曲正切、反双曲正弦、反双曲余弦、反双曲正切等。

1.2 数列的极限

1.2.1 数列极限的定义

(1)数列的定义 对于每个n∈N+,按照某一法则,有唯一确定的实数xn与之对应,这些实数xn按照下标从小到大排序得到的序列:x1,x2,x3...,xn...

(2)数列极限的定义 当n无限增大时,对应的xn无限接近于某个确定的常数a,则称数列{xn}收敛于a,否则称数列{xn}发散。

1.2.2 数列极限的性质

(1)极限的唯一性

(2)收敛数列的有界性:如果数列收敛,那么数列一定有界。

(3)收敛数列的保号性:如果数列收敛于a,且a>0(或a<0),那么存在整数N>0,当n>N时,都有xn>0(xn < 0)。

(4)收敛数列与其子数列的关系:收敛数列的子数列也一定收敛,且极限相同。

1.3 函数的极限

1.3.1 函数极限的定义

(1)自变量x的绝对值无限增大且趋于无穷大时函数的极限

对于任意给定的正数ε,总存在正数X,使得当x满足不等式|x| > X时,对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x) - A| < ε。

趋向于正无穷,负无穷类似。

(2)自变量x趋于有限值时函数的极限

对于任意给定的正数ε,总存在正数δ,使得当x满足0 < |x - x0| < δ时,对应的函数值f(x)满足不等式|f(x) - A| < ε。

左极限、右极限类似。

1.3.2 函数极限的性质

(1)函数极限的唯一性

(2)函数极限的局部有界性

(3)函数极限的局部保号性

1.4 极限的运算法则

1.4.1 四则运算法则

求极限:0/0型未定式极限,设法消去分子分母中极限为零的公因式;∞ - ∞型未定式极限,可以通过通分化为0/0型未定式极限

1.4.2 复合运算法则

1.5 极限存在法则

1.5.1 夹逼原理

数列{xn},{yx},{zn}满足:从某项起,存在n0∈N,当n>n0时,有yn<=xn<=zn,且yn,zn的极限相同为a,则数列xn存在极限a。

当x∈U(x0,r)(去心邻域)(或|x| > M)时,有g(x) <= f(x) <= h(x)成立,且g(x),z(x)有相同的极限A,则f(x)存在极限A。

1.5.2 单调有界准则 

单调递增有上界或单调递减有下界或单调有界数列必有极限。

函数f(x)在某个点的左邻域内单调有界,则f(x)在x0左邻域的极限必定存在。

右邻域、趋向正负无穷的情况与上面类似。

1.5.3 Cauchy收敛准则

1.5.4 两个重要的极限

(1)lim(x->0) sinx/x = 1(利用这个极限可以求许多与三角函数有关的未定式极限)

cosx < sinx / x < 1 => 0 < 1-sinx/x < 1-cosx = x*x / 2

(2)lim(x->∞)(1+1/x)^x = e

lim(n->∞) \(1+1/n)^n = e

1.6 无穷小与无穷大

1.6.1 无穷小

函数α(x)当x->x0或x->∞时的极限为零,那么称函数α(x)为x->x0或x->∞时的无穷小,或无穷小量。

f(x)的极限为A的充要条件是f(x) = A+α(x),其中α(x)为无穷小。

1.6.2 无穷大

当x->x0或x->∞时,对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大,那么称函数f(x)为当x->x0或x->∞时的无穷大,或无穷大量。

1.6.3 无穷小与无穷大

f(x)为无穷大,则1/f(x)为无穷小;反之,如果f(x)为无穷小,且f(x)≠0,则1/f(x)为无穷大。

有限个无穷小的和是无穷小。

有限个无穷小的乘积是无穷小。

有界函数与无穷小的乘积是无穷小。

常数与无穷小的乘积是无穷小。

有限个无穷大的乘积是无穷大。

无穷大与有界量之和为无穷大。

1.6.4 无穷小的比较

β(x)、α(x)均为无穷小,α(x) ≠ 0,极限β(x) / α(x)

高阶无穷小:极限为0,记作β(x) = o(α(x))

低阶无穷小:极限为∞

同阶无穷小:极限为常数C(C≠0),记作β(x) = O(α(x))

k阶无穷小:α(x)^k(k>0为常数)极限为C≠0

等价无穷小:极限为1

无穷小等价替换原理

1.7 函数的连续性

1.7.1 连续函数的定义

函数y = f(x)在x点x0的某一邻域内有定义,如果lim(x->x0)f(x) = f(x0),则称函数y = f(x)在点x0连续。

左连续、右连续的定义类似上面。

1.7.2 函数的间断点及其分类

y = f(x)如果不满足下列三个条件之一,则称函数y=f(x)在x0处不连续:

(1)在x0处没有定义;

(2)有定义但是极限不存在

(3)有定义,极限存在,但是不等于f(x0)

不连续的点x0称为不连续点或者间断点。

左右极限都存在的间断点称为第一类,不是第一类的间断点称为第二类。

可去间断点、跳跃间断点、无穷间断点、振荡间断点。

1.7.3 连续函数的运算与初等函数的连续性

(1)和、差、积、商连续

(2)复合函数及反函数连续

1.7.4 区间上连续函数的性质

(1)有界性与最大值最小值定理

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,则f(x)在[a,b]上有界。

(2)对于定义在区间I上的函数f(x),如果存在x0∈I,使得对于任一x∈I,有f(x) <= f(x0)或f(x) >= f(x0),则称f(x0)为区间I上的最大值或最小值,称点x0是区间I上的最值点。

(3)闭区间上连续的函数在该区间上一定能取得它的最大值和最小值。

(4)零点定理与介值定理

如果点x0,使f(x0)=0,那么称x0为函数f(x)的零点。

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)异号,那么在开区间(a,b)内至少存在一点x0,使得f(,0) = 0。

如果函数f(x)在闭区间[a,b]上连续,且f(a)与f(b)不相等,那么f(a)与f(b)之间的任意一个数C,在开区间(a,b)内至少存在一个点x0,使得f(x0) = C。

1.7.5 函数的一致连续性

 

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