『最短Hamilton路径 状态压缩DP』
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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了『最短Hamilton路径 状态压缩DP』相关的知识,希望对你有一定的参考价值。
<更新提示>
<第一次更新>状压DP入门
<正文>
最短Hamilton路径
Description
给定一张 n(n≤20) 个点的带权无向图,点从 0~n-1 标号,求起点 0 到终点 n-1 的最短Hamilton路径。 Hamilton路径的定义是从 0 到 n-1 不重不漏地经过每个点恰好一次。
Input Format
第一行一个整数n。 接下来n行每行n个整数,其中第i行第j个整数表示点i到j的距离(一个不超过10^7的正整数,记为a[i,j])。 对于任意的x,y,z,数据保证 a[x,x]=0,a[x,y]=a[y,x] 并且 a[x,y]+a[y,z]>=a[x,z]。
Output Format
一个整数,表示最短Hamilton路径的长度。
Sample Input
4
0 2 1 3
2 0 2 1
1 2 0 1
3 1 1 0
Sample Output
4
解析
很容易想到的朴素解法是枚举全排列,时间复杂度(O(n*!n)),显然是会(TLE)的。注意到(n<20),我们考虑状态压缩(DP)。设(f[i][S])代表当前遍历状态为(S),到了第(i)个点的最短长度。如何理解遍历状态(S)呢?我们把它当做一个二进制的(01)串,从右数第i位为如果为(0),就说明节点i没有被遍历到过,如果第(i)位为(1),则说明节点i被遍历到过了。我们将整个图的遍历状态记为一个二进制数,这就是状态压缩。
那么我们考虑如何(DP)。我们将编号记为从(1)开始的,那么初始状态就是(f[1][1]=0)。
这里我们需要先理解状态的查询和赋值操作:
1.
S&(1<<(i-1))
代表取出状态S的(从右往左)第i位
2.S|(1<<(i-1))
代表将状态S的(从右往左)第i位赋值为1
那么我们就可以得到状态转移方程了:[f[j][S|(1<<(j-1))]=min{f[i][S]+dis[i][j]}]
需要满足节点(j)未访问,节点(i)已经访问过了。
状态的初值一开始均为正无穷,枚举(S,i,j)即可转移,时间复杂度(O(n^2*2^n)),目标状态为(f[n][(1<<n)-1])。
(Code:)
#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const int N=20;
int n,dis[N+5][N+5],f[N+5][(1<<N)+5],ans=0x3f3f3f3f;
inline void input(void)
{
scanf("%d",&n);
for(int i=1;i<=n;i++)
for(int j=1;j<=n;j++)
scanf("%d",&dis[i][j]);
}
inline void dp(void)
{
memset(f,0x3f,sizeof f);
f[1][1]=0;
for(int S=1;S<(1<<n);S++)
for(int i=1;i<=n;i++)
if(S&(1<<(i-1)))
for(int j=1;j<=n;j++)
if( not (S&(1<<(j-1))) )
f[j][S|(1<<(j-1))]=min(f[j][S|(1<<(j-1))],f[i][S]+dis[i][j]);
}
int main(void)
{
freopen("test.in","r",stdin);
freopen("test.out","w",stdout);
input();
dp();
printf("%d
",f[n][(1<<n)-1]);
}
<后记>
后记>正文>第一次更新>更新提示>以上是关于『最短Hamilton路径 状态压缩DP』的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章
DP问题从入门到精通4(状态压缩dp,蒙德里安,最短Hamilton路径)
DP问题从入门到精通4(状态压缩dp,蒙德里安,最短Hamilton路径)