动态开点线段树

Posted 2021-02-08 virtu0s0

用途

• 需要建立多棵独立的线段树
• 线段树维护的值域较大（1e9）,但是操作次数较少（1e5）

特征

• 类似主席树的原理，动态分配每个树节点的位置（lson[],rson[])，每次只更新一条链，但是主席树是建立一颗新的树，动态开点线段树是在一棵树上不断添加节点（还是一棵树）
• 类似线段树的原理，push_down区间修改，push_up区间查询

例题

1.维护值域较大，线段树区间修改
cf915e
https://codeforces.com/contest/915/problem/E
题意：

q(3e5)次区间修改，将区间修改成0或1，每次修改后输出1～n(1e9)的和

题解：

• 动态加点线段树区间修改练习
• 通常的空间是修改次数*40（和主席树相同），根据re（少）和mle（多）修改空间

代码

#include<bits/stdc++.h>
#define all 1000000000
#define M 400005
using namespace std;
int n,q,ly[M*40],sum[M*40],ls[M*40],rs[M*40],l,r,k,dfn=0,rt=0;
void push_down(int o,int l,int r){
    if(ly[o]>=0){
        if(!ls[o])ls[o]=++dfn;
        if(!rs[o])rs[o]=++dfn;
        int mid=(l+r)/2;
        ly[ls[o]]=ly[rs[o]]=ly[o];
        sum[ls[o]]=ly[ls[o]]*(mid-l+1);
        sum[rs[o]]=ly[rs[o]]*(r-mid);
        ly[o]=-1;
    }
}

void ud(int &o,int l,int r,int L,int R,int x){
    if(!o)o=++dfn;
    if(L<=l&&r<=R){
        ly[o]=x;
        sum[o]=ly[o]*(r-l+1);
        return;
    }
    push_down(o,l,r);
    int mid=(l+r)/2;
    if(L<=mid)ud(ls[o],l,mid,L,R,x);
    if(R>mid)ud(rs[o],mid+1,r,L,R,x);
    sum[o]=sum[ls[o]]+sum[rs[o]];
}
int main(){
    cin>>n>>q;
    memset(ly,-1,sizeof(ly));
    while(q--){
        scanf("%d%d%d",&l,&r,&k);
        if(k==1)ud(rt,1,all,l,r,1);
        else ud(rt,1,all,l,r,0);
        printf("%d
",n-sum[1]);
    }
}

2.需要建立多棵线段树
1046a
https://codeforces.com/contest/1046/problem/A

题意：

n(1e5)个机器人，每个机器人有位置x，半径r，智商值q（都是1e9)，
设两个机器人能相互识别的条件是：两个机器人在彼此半径中，并且智商值相差不超过k(20)，问有多少对机器人能互相识别

题解：

• 将半径从大到小的顺序加入机器人（单点修改），线段树维护位置上机器人的个数（1e9),在加入前查询在这个机器人范围内的机器人个数（区间查询），这样做可以保证统计出来的机器人一定在相互范围内（因为后面的能看到前面的，前面的一定也能看到后面的）
• 因为k只有20，所以可以考虑暴力，每一个智商值建一颗线段树，然后暴力枚举[q-k,q+k],范围内的线段树
• 注意离散化智商值

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define ll long long 
#define M 100005
using namespace std;
struct N{
   ll x,r,q;
}p[M]; 
int n,k,cnt=0,dfn=0,rt[M*40],rs[M*40],ls[M*40];
ll l,r,a,b,i,j,all=1e9,sum[M*40],ans;
map<ll,int>mp;

bool cmp(N a,N b){
    return a.r>b.r;
}
void ud(int &o,int l,int r,int p,int x){
    if(!o)o=++dfn;
    sum[o]+=x;
    if(l==r)return;
    int mid=(l+r)/2;
    if(p<=mid)ud(ls[o],l,mid,p,x);
    else ud(rs[o],mid+1,r,p,x);
}
ll qy(int o,int l,int r,int L,int R){
    if(!o)return 0;
    if(L<=l&&r<=R)return sum[o];
    int mid=(l+r)/2;
    ll ans=0;
    if(L<=mid)ans+=qy(ls[o],l,mid,L,R);
    if(R>mid)ans+=qy(rs[o],mid+1,r,L,R);
    return ans;
}
int main(){
    cin>>n>>k;
    for(i=0;i<n;i++){
        cin>>p[i].x>>p[i].r>>p[i].q;
    }
    sort(p,p+n,cmp);
    for(i=0;i<n;i++){
        l=max(0ll,p[i].x-p[i].r);
        r=min(all,p[i].x+p[i].r);
        a=max(0ll,p[i].q-k);
        b=p[i].q+k;
        for(j=a;j<=b;j++){
            if(mp.find(j)==mp.end())continue;
            ans+=qy(rt[mp[j]],0,all,l,r);
        }
        if(mp[p[i].q]==0)mp[p[i].q]=++cnt;
        ud(rt[mp[p[i].q]],0,all,p[i].x,1);
    }
    cout<<ans;
}

3.在线段树上dp
1111c
https://codeforces.com/contest/1111/problem/C

题意：

合并一段2^n(30)的区间，一种方法是对半分成两个区间合并，另一种方法是直接合并，代价是Ba[l,r](r-l+1)(有人）or A（没人），一共有k(1e5)个人

题解：

• 转移方程：
  f[o]=min(a[o](r-l+1)B,f[ls[o]]+f[rs[o]])

代码：

#include<bits/stdc++.h>
#define M 100005
#define ll long long 
using namespace std;
int ls[M*40],rs[M*40],rt=0,all,n,A,B,k,x,i,dfn=0;
ll a[M*40],f[M*40];
void ud(int &o,int l,int r,int p){
    if(!o)o=++dfn;
    a[o]++;
    if(l==r){
        f[o]=B*a[o];
        return;
    }
    int mid=(l+r)/2;
    if(p<=mid)ud(ls[o],l,mid,p);
    else ud(rs[o],mid+1,r,p);
    if(a[ls[o]]==0)f[ls[o]]=A;
    if(a[rs[o]]==0)f[rs[o]]=A;
    f[o]=min((r-l+1)*a[o]*B,f[ls[o]]+f[rs[o]]);
}

int main(){
    cin>>n>>k>>A>>B;
    all=1<<n;
    for(i=0;i<k;i++){
        scanf("%d",&x);
        ud(rt,1,all,x);
    }
    printf("%lld
",f[1]);
}