P2764 [网络流24题]最小路径覆盖问题[最大流]

Posted 2021-02-08 saigyouji-yuyuko

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这题有个转化，求最少的链覆盖→即求最少联通块。

设联通块个数$x$个,选的边数$y$,点数$n$个

那么有 $y=n-x$   即  $x=n-y$

而n是不变的,目标就是在保证每个点入度、出度不大于1的前提下让选的边尽可能地多。

下面网络流建模。

利用二分图匹配建图，左右两点集都包含 n 个点，左点集代表 u 的出度，右点集代表 u 的入度。对于原图中的边 (u,v)，从 左边的u点 向 右边的v点 连一条容量为 1 的 边，左点集与超级源点、右点集与超级汇点都分别连一条容量 1 的边，然后从源点做最大流，容量设1保证了我们每个点只流向另外唯一一个点，不会重叠。最大流即为所选边在满足条件下的最多数量。答案就是$n-y$。

spj那个的话就只要找到每一块的起点，也就是入度为0，这个看代码。找到起点就往后查残量为0的边顺着跑到底就行啦。

 1 #include<bits/stdc++.h>
 2 using namespace std;
 3 typedef long long ll;
 4 typedef pair<int,int> pii;
 5 template<typename T>inline char MIN(T&A,T B){return A<B?A=B,1:0;}
 6 template<typename T>inline char MAX(T&A,T B){return A>B?A=B,1:0;}
 7 template<typename T>inline T _min(T A,T B){return A<B?A:B;}
 8 template<typename T>inline T _max(T A,T B){return A>B?A:B;}
 9 template<typename T>inline T read(T&x){
10     x=0;char c;while(!isdigit(c=getchar()))if(isalpha(c))return x=(int)c;
11     while(isdigit(c))x=(x<<1)+(x<<3)+(c^48),c=getchar();return x;
12 }
13 const int N=150+7,M=10000+7,INF=0x3f3f3f3f;
14 int w[M<<1],v[M<<1],Next[M<<1],Head[N<<1],cur[N<<1],dis[N<<1],tot=1,s,t,n,m;
15 inline void Addedge(int x,int y,int z){
16     v[++tot]=y,Next[tot]=Head[x],Head[x]=tot,w[tot]=z;
17     v[++tot]=x,Next[tot]=Head[y],Head[y]=tot,w[tot]=0;
18 }
19 #define y v[j]
20 inline char bfs(){
21     queue<int> q;q.push(s),memset(dis,0,sizeof dis),dis[s]=1;
22     for(register int i=1;i<=(n<<1)+2;++i)cur[i]=Head[i];
23     while(!q.empty()){
24         int x=q.front();q.pop();
25         for(register int j=Head[x];j;j=Next[j])if(w[j]&&!dis[y]){
26             dis[y]=dis[x]+1,q.push(y);
27             if(y==t)return 1;
28         }
29     }
30     return 0;
31 }
32 int dinic(int x,int flow){
33     if(!flow||x==t)return flow;
34     int rest=flow,k;
35     for(register int j=cur[x];j&&rest;cur[x]=j,j=Next[j])if(w[j]&&dis[y]==dis[x]+1){
36         if(!(k=dinic(y,_min(rest,w[j]))))dis[y]=0;
37         rest-=k,w[j]-=k,w[j^1]+=k;
38     }
39     return flow-rest;
40 }
41 #undef y
42 int x,y,ans;
43 inline void print(int x){
44     printf("%d ",x);
45     for(register int j=Head[x];j;j=Next[j])if(v[j]<s&&!w[j])print(v[j]-n);
46 }
47 
48 int main(){//freopen("tmp.in","r",stdin);freopen("tmp.out","w",stdout);
49     read(n),read(m);s=2*n+1,t=2*n+2;
50     for(register int i=1;i<=n;++i)Addedge(s,i,1);
51     for(register int i=n+1;i<=n*2;++i)Addedge(i,t,1);
52     for(register int i=1;i<=m;++i)read(x),read(y),Addedge(x,y+n,1);
53     while(bfs())ans+=dinic(s,INF); ans=n-ans;
54     for(register int i=n+1;i<s;++i){//  s <==> n*2+1  
55         int tmp=0;  
56         for(register int j=Head[i];j;j=Next[j])if(v[j]<=n&&w[j]){tmp=1;break;}
57         if(!tmp)print(i-n),puts("");
58     }
59     printf("%d
",ans);
60     return 0;
61 }