四点共面的条件是啥?

Posted 2023-03-16

四点共面的条件是如果有三点共线，并且第四点在这条线上，则四点共线，也一定是共面的。

四点共面纯几何证法：

①要是四个点分别连成两条直线相交了，那必然共面。

②有位置关系，比如两两连成直线以后，出现了这两条直线垂直、平行等现象。解析几何证法：假设这四个点是A、B、C、D。（任意两点不重合）利用向量方法。

设OABC是不共面的四点，则对空间任意一点，都存在唯一的有序实数组(x,y,z)。

使得OP=xOA+yOB+zOC OP,OA,OB,OC均表示向量 说明：若x+y+z=1，则PABC四点共面 （但PABC四点共面的时候，若O在平面ABP内，则x+y+z不一定等于1，即x+y+z=1 是P.A.B.C四点共面的充分不必要条件）。

证明：

1）唯一性：

设另有一组实数x',y',z' 使得OP=x'OA+y'OB+z'OC。

则有xOA+yOB+zOC=x'OA+y'OB+z'OC。

∴(x-x')OA+(y-y')OB+(z-z')OC=0。

∵OA、OB、OC不共面。

∴x-x'=y-y'=z-z'=0即x=x'、y=y'、z=z'。

故实数x,y,z是唯一的。

2）若x+y+z=1 则PABC四点共面：

假设OP=xOA+yOB+zOC且x+y+z=1 且PABC不共面。

那么z=1-x-y 则OP=xOA+yOB+OC-xOC-yOC。

OP=OC+xCA+yCB(CP=xCA+yCB)。

点P位于平面ABC内，与假设中的条件矛盾，故原命题成立。

参考技术A

如果有三点共线，并且第四点在这条线上，则四点共线，也一定是共面的。

共面，又称共平面，是几何学术语，是指几何形状在三维空间中共占同一平面的关系。共面具有的性质是三个不在一条直线上点必会共面，一条直线和这直线外一点必共面。

四点共面的充要条件：

用向量，另取一点O，如向量OA=ax向量OB+bx向量OC+cx向量OD，且a+b+c=1，则有四点共面。

共面直线就是指代两条或者多条直线同一个平面内，平行和相交的两条或者多条直线就是共面直线。

直线共面的条件：两条直线相交，他们共面；两条直线平行，他们共面。除上述两种情况外的直线都可以判断为两条直线不共面。

共面具有性质：三个不在一条直线上点必会共面；一条直线和这直线外一点必共面；两条直线相交，则它们必共面；两条平行直线必共面。