生成树定理

Posted 2021-02-08 stddddd

我在网上找了半天也没找到证明……，这里就简单介绍一下定理内容吧！

生成树定理，顾名思义，就是用来计算一个简单无向图的生成树个数的，所以要假设一个简单无向图G，点数n，边数m。

然后定义一个简单无向图G的度数矩阵D[G]，它是n*n的矩阵，并且对于其中每一个元素，设该元素位于第i行第j列，均有：

　　i==j时，该元素值为i或j的度数。

　　i!=j时，该元素值为零。

再定义一个邻接矩阵A[G]，对于每一个元素(i,j)，若点i和点j直接相连，则该元素值为1，否则为0。

然后令C[G]=D[G]-A[G]，再取[1,n]中任意一个数k，去掉矩阵C中第i行第i列，剩余一个(n-1)*(n-1)的行列式，该行列式的绝对值即为方案数。

有一道栗题——SPOJ-HIGH Highways

题面：自己找

题解：啥也不说了，AC数++。

代码：

 1 #include<cmath>
 2 #include<cstdio>
 3 #include<cstdlib>
 4 #include<cstring>
 5 #include<algorithm>
 6 #define N 502
 7 using namespace std;
 8 int T,n,m;
 9 double a[N][N];
10 const double eps=1e-6;
11 double gausswork()
12 {
13     int now=1;
14     for(int i=1;i<n;i++)
15     {
16         int tmp=now;
17         for(int j=now+1;j<n;j++)    if(abs(a[j][i])>abs(a[tmp][i]))    tmp=j;
18         if(tmp!=now)    for(int j=1;j<n;j++)    swap(a[now][j],a[tmp][j]);
19         if(abs(a[now][i])<eps)    return 0;
20         for(int j=now+1;j<n;j++)
21             if(j!=now)
22             {
23                 double tmp=a[j][i]/a[now][i];
24                 for(int k=i;k<n;k++)    a[j][k]-=tmp*a[now][k];
25             }
26         now++;
27     }
28     double ret=1;
29     for(int i=1;i<n;i++)    ret=ret*a[i][i];
30     return abs(ret);
31 }
32 int main()
33 {
34     scanf("%d",&T);
35     while(T--)
36     {
37         memset(a,0,sizeof(a));
38         scanf("%d%d",&n,&m);
39         for(int i=1,ui,vi;i<=m;i++)
40         {
41             scanf("%d%d",&ui,&vi);
42             a[ui][ui]++,a[ui][vi]--;
43             a[vi][vi]++,a[vi][ui]--;
44         }
45         printf("%.0lf
",gausswork());
46     }
47     return 0;
48 }

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