均分纸牌(Noip2002)

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1320:【例6.2】均分纸牌(Noip2002)


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【题目描述】

有n堆纸牌,编号分别为 1,2,…, n。每堆上有若干张,但纸牌总数必为n的倍数。可以在任一堆上取若干张纸牌,然后移动。

移牌规则为:在编号为1的堆上取的纸牌,只能移到编号为 2 的堆上;在编号为 n 的堆上取的纸牌,只能移到编号为n-1的堆上;其他堆上取的纸牌,可以移到相邻左边或右边的堆上。

现在要求找出一种移动方法,用最少的移动次数使每堆上纸牌数都一样多。

例如 n=4,4堆纸牌数分别为:  ① 9 ② 8 ③ 17 ④ 6

移动3次可达到目的:

从 ③ 取4张牌放到④(9 8 13 10)->从③取3张牌放到 ②(9 11 10 10)-> 从②取1张牌放到①(10 10 10 10)。

 

【输入】

n(n 堆纸牌,1 ≤ n ≤ 100)

a1 a2 … an (n 堆纸牌,每堆纸牌初始数,l≤ ai ≤10000)。

【输出】

所有堆均达到相等时的最少移动次数。

【输入样例】

4
9 8 17 6

【输出样例】

3

例题不怎么详的解:
前辈们告诉我们,OI的很多题目想要解出来是需要很多奇巧淫技的,多积累点奇怪的思路和技巧,不仅对提升成绩有帮助,还对自己大脑开发有好处(一本正经)。

实际上很多OI题都要靠奇葩的技巧,就像其他学科竞赛那样。。。
这一题也是如此。
很多人一上来看到这题目就直接懵逼了,没有头绪,难不成让我用搜索做?
于是乎玄乎的来了,我们代入一点逆向的思想,分析输入数据和输出数据的关系,震惊地发现原来所有牌堆中牌的总数平分到每一个堆中(即平均值)就是最后均分的结果,也照应了题目。
好吧我承认这很容易想出来,因为题目给出的暗示很明显:

现在要求找出一种移动方法,用最少的移动次数使每堆上纸牌数都一样多。


好的,我实力眼瞎没看到,刚看到这道题我差点就去搜索了。。。所以说啊,认真看题无论在哪里都是第一要素!!!

算法分析:
回到正题,给出的n堆纸牌中,由于分配不均,肯定存在牌数最多的一堆,我们就从这里开始。经过简单分析,因为题目只允许将中间牌堆上的牌放到左右两边,得出以下参考思路:

我们将所有牌的数量除以总堆数的结果称为平均值;
我们将某一堆上牌的总数与平均值之差称为需求值;

找到牌数最多的牌堆,将牌分成两部分,一部分的数量是该堆左边每堆牌需求值总和,另一部分的数量是右边每堆牌需求值总和,然后分别放置到左右两边。
向左右两边继续执行这样的操作,由于已经执行过的部分已经达到平均值,无需改变,所以这种算法具有无后效性,只需将最中间的牌向两边摊开就行。

这时我突然意识到一个问题,如果用这种思路设计算法,那么代码设计会相对繁琐,因为要实现规划左右两段的功能,于是竞赛书上的写法使我虎躯一震,真的没想到还有这种操作,果然竞赛靠的还是一个巧。
那就是:

假设一组牌堆,3 7 17 13,写成需求值的形式是-7 -3 7 3,我们把 -7 移到 -3 里去,把 -7 变成 0,-3 变成 -10(相当于-3那一堆挪7张牌到-7那一堆,但是可以在算法中写成此种形式),
-10 再移到 7 里去,7 变成 -3,最后把 -3 移到 3 里去,大功告成。

很明显这种思路比我的思路要来的简单一些,代码量更少,那么我就只分析这种算法(其实是我懒)。

设置一个关键数组a,储存所有牌堆的牌数。
设置一个变量avg,储存均值。
设置一个变量tot,储存移动总步骤。
我们首先要将需求值计算出来放进一个数组,我嫌麻烦,所以将数组a再次利用了一次,将需求值覆盖原数组。
接下来就是算法核心部分的编写,我们需要遍历一遍数组,执行上面那个思路:
for(int t=i;t<j;t++)
	{	
		a[t+1]+=a[t];
		a[t]=0;
		tot++;
	}

 这就是核心代码,很简单,不过有些细节还要处理。

注意:要 素 察 觉,如果开头和结尾的牌堆的需求值为0,那么此牌堆无需移动。正确姿势应该是从第一个需求值不为0的牌堆移动到最后一个需求值不为0的牌堆。
而且,在移动过程中如果出现恰好前后两牌堆需求值合并得到的值为0的情况,可以跳过一步,相当于遍历到此牌堆时,前面的需求值恰好抵消,等同于已经完成了一轮均分。
因此,现在需求值为0的那个牌堆不需要再移动。
得到如下代码:
      i=0;j=n-1;
	while(a[i]==0&&i<n) i++;
	while(a[j]==0&&j>1) j--; 
	for(int t=i;t<j;t++)
	{	
		if(a[t]==0) continue;
		a[t+1]+=a[t];
		a[t]=0;
		tot++;
	}
样例代码:
#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
using namespace std;
int main()
{
	int avg=0,n,a[101],i,tot=0,j;
	scanf("%d",&n);
	for(i=0;i<n;i++)
	{
		 scanf("%d",&a[i]);
		 avg+=a[i];
	}
	avg/=i;
	for(j=0;j<n;j++) a[j]-=avg;
	i=0;j=n-1;
	while(a[i]==0&&i<n) i++;
	while(a[j]==0&&j>1) j--; 
	for(int t=i;t<j;t++)
	{	
		if(a[t]==0) continue;
		a[t+1]+=a[t];
		a[t]=0;
		tot++;
	}
	printf("%d",tot);
	return 0;
}

  2019-02-08 19:36:03

 

 




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