子序列求和问题

Posted 2021-02-08 rewivy

问题描述：给定一整数序列A1,A2,...，An（可含负数），求A1-An中的一个子序列Ai-Aj，使得Ai-Aj的和最大，求该和的值。

涉及变量：sequence：int[]型常量，给定整数序列

          n：实际元素个数

          sum：int型变量，子序列之和

          max：int型变量，最大子序列之和

          i：int型变量，下标

 涉及教材：《数据结构——Java语言描述(第2版)》 清华大学出版社

 

第一次看到这道题时我的思路是用三个for循环解决问题：

1.将max的初值赋为sequence[0]

2.从下标为0，1，..，n-1的位置开始计算每一个子序列的和并存放在sum变量中

3.比较sum与max，若sum>max，则将max赋值为sum所存储值，否则不变

4.结束for循环后，返回max

这种简单粗暴的方法，原理简单，但没有太多技巧，说白了就是全部算一遍，费时费力。其时间复杂度为O(n^3)，当序列较大时不适合使用这种方法

 

第二次看到这道题是在教科书上，书上介绍了4种关于该问题的求解方式，包括上面我第一次想到的思路且有其改良版，但此处只讲我最喜欢的一种算法的思路：

1.将max和sum都赋初值为0

2.当i<sequence.length,for循环中执行每一个数加到sum中

3.若sum>max,则将max赋值为sum

4.若sum<0,将sum清空为0重新开始计算

5.结束for循环后，返回max

第4步操作是因为若前面的子序列之和小于0，则必定会影响后面正整数子序列之和，使其无法达到最大子序列之和，故将其赋值为0，表示从这一元素开始重新计算子序列之和

书上代码如下：

 

第4步十分巧妙地避免了重算子序列的麻烦，但同时由于这一步，这个算法对整个序列都为负数时无能为力

 

为了能解决全负数的序列求和问题，我改良了这个算法

我的思路：

1.将max赋值为sequence[0],sum赋值为0

2.用for语句开始执行子序列最大求和的运算和对比，循环结束条件为对数组各元素的一次遍历结束后

3.每次执行sum+=sequence[i],即求子序列之和

4.若sum>max时，有两种可能

  (1)sequence[i]比sum大，sum由于前面存在的负数而影响了sum的最大可能，此时将max赋值为sum

  (2)其他情况，sum>=sequence[i],将max赋值为sum

5.当sum小于0时，会对最大子序列之和造成影响，故将sum清零重新计算

//这一步可能有人会奇怪4和5似乎相互矛盾了，上一步当sum<0时不是已经被清零了吗，下一次怎么又会在第一个if里出现小于0的情况，这里是考虑到了全负数序列的情况

假设所给出序列为 {-6，-2，-1}，

第1次循环时max=-6，sum=-6，不符合if执行条件，进入else if，sum=0，i=1

第2次循环时max=-6，sum=-2，符合sum>max的if执行条件，且执行else语句，得max=-2，sum=0，i=2

第3次循环时max=-2，sum=-1，符合sum>max的if执行条件，其符合里面的if(sequence[i]>sum)的执行条件，得max=-1，sum=0，i=3,结束循环

以下为代码：

 

代码本身的for循环其实可以用do_while循环替代，思路大体不变

 以上是我关于子序列求和的部分思考和代码，希望对各位有所帮助

 

190111  Rewivy