浮点数在计算机中的存储

Posted 2021-02-08 sooneven

一，基础预备知识

1，十进制转换为二进制

 

1.1 整数部分：

连续,除以2，取余数，余数为0或1，53 / 2 = 26R1    26 / 2 = 13R0    13 / 2 = 6R1    6 / 2 = 3 R0   3 / 2  = 1 R1    1/2 = 0R1 ，对应二进制为110101（从右往左）

 

1.2 小数部分：

 连续乘以2，大于1取1，如0.7转换成二进制为：0.7*2 = .4 + 1   0.4*2 = 0.8 + 0   0.8*2 = 0.6 + 1   0.6*2 = 0.2 +1   0.2*2 = 0.4 + 0（进入循 环），对应二进制为10110....（从左往右） 所以十进制53.7转换二进制为：110101.10110（0110循环）

 

2，二进制转换成十进制：

2.1 对应位数次方，分数位为负数次方

 

二，IEEE标准

1，浮点数格式：包含三个部分，符号位（+或者是-），指数位，尾数，格式为+1.bbbb...b*2^p
             

精度	sign	exponent	mantissa
single	1	8	23
double	1	11	52
long double	1	15	64

例如十进制9，二进制为1001，存储方式为+1.001*2^3

 

2，对double的讨论

2.1   double精度1，二进制为+1.000...00（52个0）*2^0，下一个比1大的数为+1.000...01*2^0，十进制为1+2^（-52）

益普希龙mach为1与比1大的最小浮点数的差值，为2^（-52），9.4---1001.0110----double格式为+1.0010110...1100*2^3

　　　　

2.1   当尾数超出52位时需要舍去余下部分，分为两种：chopping与rounding，其中chopping简单就是把超出52位的扔掉（不好）

 

2.2   rounding：类似于十进制的四舍五入，rounding分为两种情况，当52为以后为：（52位）100....（全为0），进位和舍去取决于哪种使得52为0

其余情况为53为1就进位，为0就舍去

 

2.3 十进制9.4在双精度表示下的误差：9.4---1.110.....1100|110...舍去部分为： .1100*2^（-52）*2^3---十进制为.4*2^（-48），应为53位为1，所以要进一位，增加2^（-52）*2^3---十进制为2^(-49)

所以最后结果为fl(9.4) = 9.4 + 2^(-49) -0.4*2^(-48) = 9.4 + 0.2*2^（-49），误差为0.2*2^（-49）（rounding error）