HDU 5279 YJC plays Minecraft (分治NTT优化DP)

Posted 2021-02-08 guapisolo

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题目大意：有$n$个小岛，每个小岛上有$a_{i}$个城市，同一个小岛上的城市互相连接形成一个完全图，第$i$个小岛的第$a_{i}$个城市和第$i+1$个小岛的第$1$个城市连接，特别地，第$n$个小岛的第$a_{n}$个城市和第$1$个小岛的第$1$个城市连接。现在要断掉图中的一些边，保证任意两个城市只有一条路径或者不连通，求合法的断边方案总数，$n,a_{i}<=1e5$

完全不会（喷血

 

我们对每个小岛单独讨论

如果任意两个城市只有一条路径或者不连通，那么这张图只能是一个森林

定义$f[i]$表示$i$个点的完全图的答案

我们对第$i$个点所在的树进行讨论， 设$i$点所在的树除了$i$点还有$j$个节点，可以得到方程

$f[i]=sumlimits_{j=0}^{i-1} C_{i-1}^{j}f[i-j-1](j+1)^{j-1}$

完全图有标号生成树个数是$n^{n-2}$

把上述式子展开，发现是一个卷积形式，可以用分治$NTT$求解

 

显然小岛间的边至少断一条就ok了

如果一条都不断边呢？

就要保证至少一个小岛内的$1$号点和$a_{i}$号点不连通

我们去掉每个小岛的$1$号点和$a_{i}$号点都连通的方案数就行了

这种情况的$DP$方程和上面的差不多， 设$i$点所在的树除了$i$点和$1$号点还有$j$个节点

$g[i]=sumlimits_{j=0}^{i-2} C_{i-1}^{j-1}f[i-j-2](j+2)^{j}$

不用分治直接$NTT$就行了

 

  1 #include <cmath>
  2 #include <cstdio>
  3 #include <cstring>
  4 #include <algorithm>
  5 #define N1 (1<<18)+10
  6 #define il inline
  7 #define dd double
  8 #define ld long double
  9 #define ll long long
 10 using namespace std;
 11 
 12 const int inf=0x3f3f3f3f;
 13 const ll p=998244353;
 14 int gint()
 15 {
 16     int ret=0,fh=1;char c=getchar();
 17     while(c<‘0‘||c>‘9‘){if(c==‘-‘)fh=-1;c=getchar();}
 18     while(c>=‘0‘&&c<=‘9‘){ret=ret*10+c-‘0‘;c=getchar();}
 19     return ret*fh;
 20 }
 21 ll qpow(ll x,ll y)
 22 {
 23     ll ans=1;
 24     for(;y>0;x=x*x%p,y>>=1) if(y&1) ans=ans*x%p;
 25     return ans;
 26 }
 27 
 28 int T,n,m;
 29 namespace NTT{
 30 ll a[N1],b[N1],c[N1],Wn[N1],_Wn[N1];
 31 int r[19][N1];
 32 void Pre(int len,int L)
 33 {
 34     int i,j;
 35     for(j=1;j<=L;j++) for(i=0;i<(1<<j);i++)
 36         r[j][i]=(r[j][i>>1]>>1)|((i&1)<<(j-1));
 37     for(i=1;i<=len;i<<=1) Wn[i]=qpow(3,(p-1)/i), _Wn[i]=qpow(Wn[i],p-2);
 38 }
 39 void NTT(ll *s,int len,int type,int L)
 40 {
 41     int i,j,k; ll wn,w,t;
 42     for(i=0;i<len;i++) if(i<r[L][i]) swap(s[i],s[r[L][i]]);
 43     for(k=2;k<=len;k<<=1)
 44     {
 45         wn=(type>0)?Wn[k]:_Wn[k];
 46         for(i=0;i<len;i+=k)
 47         {
 48             for(j=0,w=1;j<(k>>1);j++,w=w*wn%p)
 49             {
 50                 t=w*s[i+j+(k>>1)]%p;
 51                 s[i+j+(k>>1)]=(s[i+j]+p-t)%p;
 52                 s[i+j]=(s[i+j]+t)%p;
 53             }
 54         }
 55     }
 56 }
 57 void Main(int len,int L)
 58 {
 59     int i,invl=qpow(len,p-2);
 60     NTT(a,len,1,L); NTT(b,len,1,L);
 61     for(i=0;i<len;i++) c[i]=a[i]*b[i]%p;
 62     NTT(c,len,-1,L);
 63     for(i=0;i<len;i++) c[i]=c[i]*invl%p;
 64 }
 65 void clr(int sz)
 66 {
 67     memset(a,0,sz<<3);
 68     memset(b,0,sz<<3);
 69 }
 70 };
 71 
 72 using NTT::a; using NTT::b; using NTT::c; 
 73 ll F1[N1],F2[N1],f[N1],g[N1],mul[N1],_mul[N1];
 74 void CDQ(int l,int r)
 75 {
 76     if(r-l==1&&l)
 77     {
 78         F1[l]=(f[l]*mul[l-1]%p+qpow(l,l-2))%p;
 79         f[l]=F1[l]*_mul[l]%p;
 80     }
 81     if(r-l<=1) return;
 82     int mid=(l+r)>>1,i,len,L;
 83     CDQ(l,mid);
 84     for(len=1,L=0;len<(mid-l)+(r-l)-1;len<<=1,L++);
 85     for(i=l;i<mid;i++) NTT::a[i-l]=f[i];
 86     for(i=0;i<(r-l);i++) NTT::b[i]=g[i];
 87     NTT::Main(len,L);
 88     for(i=mid;i<r;i++) f[i]=(f[i]+NTT::c[i-l])%p;
 89     NTT::clr(len);
 90     CDQ(mid,r);
 91 }
 92 int v[5][N1],sz[5];
 93 
 94 int main()
 95 {
 96     scanf("%d",&T);
 97     int i,j,x,y,len,L,t;
 98     for(t=0;t<T;t++)
 99     {
100         sz[t]=gint();
101         for(i=1;i<=sz[t];i++) v[t][i]=gint(), n=max(n,v[t][i]);
102     }
103     for(len=1,L=0;len<n+n-1;len<<=1,L++);
104     NTT::Pre(len,L);
105     mul[0]=mul[1]=_mul[0]=_mul[1]=1;
106     for(i=2;i<=n;i++) mul[i]=mul[i-1]*i%p, _mul[i]=qpow(mul[i],p-2);
107     for(i=2,g[1]=1;i<=n;i++) g[i]=qpow(i,i-2)*_mul[i-1]%p;
108     CDQ(0,n+1);
109     for(i=0;i<=n;i++) NTT::a[i]=F1[i]*_mul[i]%p;  NTT::a[0]=1; // f[j] / (j-1)!
110     for(i=2;i<=n;i++) NTT::b[i]=qpow(i,i-2)*_mul[i-2]%p; // j^(j-2) / (j-2)!  NTT::b[1]=1; 
111     NTT::Main(len,L);  F2[1]=1;
112     for(i=2;i<=n;i++) F2[i]=mul[i-2]*NTT::c[i]%p;
113     for(t=0;t<T;t++)
114     {
115         ll ans=qpow(2,sz[t]),ret=1;
116         for(i=1;i<=sz[t];i++) ans=ans*F1[v[t][i]]%p;
117         for(i=1;i<=sz[t];i++) ret=ret*F2[v[t][i]]%p;
118         ans=(ans+p-ret)%p;
119         printf("%lld
",ans);
120     }
121     return 0;
122 
123 }