八皇后问题

Posted 2021-02-08 darkvalkyrie

1213：八皇后问题

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【题目描述】

在国际象棋棋盘上放置八个皇后，要求每两个皇后之间不能直接吃掉对方。

【输入】

(无)

【输出】

按给定顺序和格式输出所有八皇后问题的解（见样例）。

【输入样例】

（无）

【输出样例】

No. 1
1 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 1 0 
0 0 0 0 1 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 1 
0 1 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 1 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 1 0 0 
0 0 1 0 0 0 0 0 
No. 2
1 0 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 0 1 0 
0 0 0 1 0 0 0 0 
0 0 0 0 0 1 0 0 
0 0 0 0 0 0 0 1 
0 1 0 0 0 0 0 0 
0 0 0 0 1 0 0 0 
0 0 1 0 0 0 0 0 
...以下省略

例题不怎么详的解：
简介：
八皇后问题，是一个古老而著名的问题，是回溯算法的典型案例。该问题是国际西洋棋棋手马克斯·贝瑟尔于1848年提出：
在8×8格的国际象棋上摆放八个皇后，使其不能互相攻击，即任意两个皇后都不能处于同一行、同一列或同一斜线上，问有多少种摆法。高斯认为有76种方案。
1854年在柏林的象棋杂志上不同的作者发表了40种不同的解，后来有人用图论的方法解出92种结果。计算机发明后，有多种计算机语言可以解决此问题。

国际象棋中，皇后可以横斜直三个方向走，步数不受限制，是最强的棋子。
放在本题中考虑，粗略分析，在8*8的棋盘中，要放下八个皇后，每个皇后一定异行异列，才能满足题目要求。

经过以上分析，很明显，每两个皇后之间的位置关系是（用i表示行，j表示列）：

ai≠bi，aj≠bj（不同行列），|ai-bi|≠|aj-bj|,|ai+bi|≠|aj+bj|（不同斜线）;

即不同行不同列不同斜线。
好的，基本思路很简单，接下来是算法实现。别看思路简单，其实这是一道经典的难题。

---

算法分析：
这是一个有点dp的搜索算法。呃。。。回溯算法。
初步思路是设置一个int型一维数组储存皇后的位置；
接下来，就是完成搜索函数的功能了。

逐行放置棋子，同时检查是否符合两棋子之间的条件关系，直到放完8个棋子。
但是我们如何判断两个皇后之间的关系呢？这里是本题的关键。

这里有一种便捷的方法，因为根据算法每个棋子必定异行，那就设置3个数组，表达某处被占地整列，整左斜线，整右斜线上的格子不得放置下一枚棋子。

为方便起见，我们设置一个关键二维数组vis[3][(此处应大于16，因为最值为i+j=16)].
首先检查当前列，行，斜线上能否放置：

if(vis[0][i]==0&&vis[1][step+i]==0&&vis[2][step-i+8]==0)//注意：vis[2]由于数组会越界，在行列值相减后必须加至大于0；

如果是，放置棋子，并声明棋子所在行，列，斜线全部无法放置棋子：

vis[0][i]=1;
vis[1][i+step]=1;
vis[2][step-i+8]=1;
a[step]=i;

    接下来，搜索下一颗棋子：

dfs(step+1);

   完事了以后要销毁证据/滑稽（回溯）：

vis[0][i]=0;
vis[1][i+step]=0;
vis[2][step-i+8]=0;

   肥肠好，到这里搜索部分就基本完成了。

   加入递归边界：

if(step==9)
    {
        tot++;
        for(int i=1;i<=8;i++)
            ans[tot][i]=a[i];//设置传值数组，将所有临时数据传入此数组。
        return;
    }

　大功告成！

   说实话挺简单的，但是我怎么写都是错的，最后还是去看了一眼答案。。。虽说思路一样吧。。。但是为什么我就是错了（蓝瘦）？？？　

   没什么需要具体分析的。

   样例代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstdlib>
#include<cstring>
#define N 100
using namespace std;
int ans[N][N],a[N];
int vis[N][N];
int tot;
void dfs(int step)
{
    if(step==8+1)
    {
        tot++;
        for(int i=1;i<=8;i++)
            ans[tot][i]=a[i];
        return;
    }
    for(int i=1;i<=8;i++)
    {
        if(vis[0][i]==0&&vis[1][step+i]==0&&vis[2][step-i+8]==0)
        {
            vis[0][i]=1;
            vis[1][i+step]=1;
            vis[2][step-i+8]=1;
            a[step]=i;
            dfs(step+1);
            vis[0][i]=0;
            vis[1][i+step]=0;
            vis[2][step-i+8]=0;
        }
    }
}
int main()
{
    dfs(1);
    for(int t=1;t<=tot;t++)
    {
        printf("No. %d
",t);
        for(int i=1;i<=8;i++)
        {
            for(int j=1;j<=8;j++)
            {
                if(ans[t][j]==i)
                    cout<<"1 ";
                else
                    cout<<"0 ";
            }
            cout<<endl;
        }
    }
    return 0;
}

2019-02-05 20:59:02