间断点

Posted 2021-02-07 bm9824

概念

间断点是指：在非连续函数y=f(x)中，在某点xo处有中断现象，那么，xo就称为函数的不连续点。

定义

设一元函数f（x）在点x0的某去心邻域内有定义。如果函数f(x)有下列情形之一：

 

（1）函数f(x)在点x0的左右极限都存在且相等，但不等于f(x0)或者f(x)在点x0无定义。

（2）函数f(x)在点x0的左右极限都存在但不相等，即f(x0+)≠f(x0-)；

（3）函数f(x)在点x0的左右极限中至少有一个不存在；

 则函数f(x)在点x0为不连续，而点x0称为函数f(x)的间断点。

 

例题

 

 

解题思路：首先找到间断点，然后再判断是第几类间断点。

在x=0、x=1、x=-1这三个点时，是其间断点。

（1）x=0时，分母中有个|x|，分两种情况，当x>0时，|x|=x,公式可以化简成  ，当x＜0时，|x|= -x,公式可以化简为，

        所以x=0这点有左右极限，但左右极限不相等，是跳跃间断点，属于第一类间断点。

（2）x=1时，这个点附近x都是正数，公式可以化简为，所以左右极限存在且相等，是可去间断点，属于第一类间断点。

（3）x=-1时，这个点附近x都是负数，所以f（x）在x=-1附近表达式不变，公式可以化简为，

        因为x趋近于-1时，分母极限为0，分子极限不是0，因为极限是无穷大，所以极限不存在，是无穷间断点，属于第二类间断点。

类型

 间断点分为两类，可去间断点和跳跃间断点称为第一类间断点。其它间断点称为第二类间断点，通常包括无穷间断点和振荡间断点。

 

几种常见类型。

 

可去间断点：函数在该点左极限、右极限存在且相等，但不等于该点函数值或函数在该点无定义。如函数y=（x^2-1)/(x-1)在点x=1处。（图一）

   

跳跃间断点：函数在该点左极限、右极限存在，但不相等。如函数y=|x|/x在点x=0处。（图二）

 

 

 

无穷间断点：函数在该点可以无定义，且左极限、右极限至少有一个不存在，且函数在该点极限为∞，所以极限不存在。如函数y=tanx在点x=π/2处。（图三）

 

振荡间断点：函数在该点可以无定义，当自变量趋于该点时，函数值在两个常数间变动无限多次。如函数y=sin(1/x)在x=0处。（图四）

 

由上述对各种间断点的描述可知，函数f(x)在第一类间断点的左右极限都存在，而函数f(x)在第二类间断点的左右极限至少有一个不存在，这也是第一类间断点和第二类间断点的本质上的区别。